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1、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b} = (0, - 1)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、0° B、90° C、135° D、180°

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2、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 中点，那么向量 $\frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A E}$ 等于（）

A、 $\vec{A B}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{B C}$ D、 $\vec{B E}$

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3、若角 $θ$ 的终边与单位圆的交点坐标是 $(a, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} + θ) =$ (　　)

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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4、下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, - 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, 7)$

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\sin C = \frac{c}{3} \cos \frac{B}{2}$ ， $b = 3$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 的面积范围.

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6、已知正 $△ A B C$ 的边长为1，中心为 $O$ ，过 $O$ 的动直线 $l$ 与边 $A B, A C$ 分别相交于点 $M 、 N, \vec{A M} = λ \vec{A B}, \vec{A N} = μ \vec{A C}, \vec{B D} = \vec{D C}$ ．

(1)、若 $\vec{A N} = 2 \vec{N C}$ ，求 $\vec{A D} \cdot \vec{B N}$ ．

(2)、求 $△ A M N$ 与 $△ A B C$ 的面积之比的最小值．

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7、已知角 $A$ 是 $△ A B C$ 的内角，若 $\overset{⃑}{a} = (\sqrt{3} \sin A, \cos A)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, - 1)$ .
(1)若 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{b}$ ，求角A的值；
(2)设 $f (x) = \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ，当 $f (x)$ 取最大值时，求 $\overset{⃑}{a}$ 在 $\overset{⃑}{b}$ 上的投影向量（用坐标表示）.

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8、已知复数 $z = \frac{1 - 2 m i}{1 + i}$ （ $m \in R$ ， $i$ 为虚数单位）．

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $|z|$ ；

(2)、设 $\bar{z}$ 为复数z的共轭复数，若 $\bar{z} - 3 z$ 不是纯虚数，求m的取值范围．

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9、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面内点，满足 $x \overset{⃑}{O A} + y \overset{⃑}{O B} + z \overset{⃑}{O C} = 0$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $x = y = z = 1$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $x = y = z = 1$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心 C、若 $x = a$ ， $y = b$ ， $z = c$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心 D、若 $x = a$ ， $y = b$ ， $z = c$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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11、已知菱形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $A O$ 的中点，若 $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{D E} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{7}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为 $30^{\circ}, 45^{\circ}$ ，且A，B两点之间的距离为6 m，则树的高度为（）

A、 $(3 + 3 \sqrt{3})$ m B、 $(3 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ m C、 $(\frac{3}{2} + 3 \sqrt{3})$ m D、 $(\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ m

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13、已知向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $|\overset{⇀}{a}| = 3$ ， $|\overset{⇀}{b}| = 1$ ，且 $(2 \overset{⇀}{a} - 9 \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{a}$ ，则 $2 \overset{⇀}{a} - 9 \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角的余弦值为

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $- \frac{5}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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14、已知复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ， $z (1 - i^{3}) = 1 - i$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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15、已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + \cos x - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、当 $x \in [α, \frac{2 π}{3}]$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ ，求 $α$ 的取值范围.

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16、某汽车配件厂拟引进智能机器人来代替人工进行某个操作，以提高运作效率和降低人工成本，已知购买x台机器人的总成本为 $p (x) = \frac{1}{4} x^{2} + 100 x + 16$ （万元）．

(1)、若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)、现按（1）中求得的数量购买机器人，需要安排m人协助机器人，经实验知，每台机器人的日平均工作量 $q (m) = \{\begin{matrix} 8 m (40 - m), 1 \leq m \leq 30 \\ 2000, m > 30 \end{matrix}$ （单位：次），已知传统人工每人每日的平均工作量为400次，问引进机器人后，日平均工作量达最大值时，用人数量比引进机器人前工作量达此最大值时的用人数量减少百分之几？

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}]$ 上的值域．

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18、已知幂函数 $f (x) = x^{m^{2} + m + 1} (m \in N^{*})$ 的图象经过点 $(2, 8) .$

(1)、试确定m的值；

(2)、判断该函数的奇偶性并证明；

(3)、求满足条件 $f (2 - a) > f (a - 1)$ 的实数a的取值范围.

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19、已知函数 $f (x)$ 是定义域为R的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式，并写出其单调增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[1, 4]$ 上的值域．

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20、已知函数 $f (x) = \log_{a} x + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 的图象恒过定点A，若角 $α$ 终边经过点A，则 $\sin 2 α + \sin (α + \frac{3 π}{2}) =$ .

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