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1、已知函数 $f (x) = cos (x + \frac{π}{3})$ ，现将函数 $f (x)$ 的图象横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变得到函数 $g (x)$ ，则 $g (\frac{π}{6})$ 值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2、若 $x > 1$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{8}{x - 1}$ 的最小值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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3、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 3}{x + 1} \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} + x - 2 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 3]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- 1, 2]$ D、 $(- 1, 1]$

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4、已知 $\sin (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $\sin (α - β) = - \frac{1}{5}$ ，求 $\frac{\tan α}{\tan β}$ 的值．

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5、已知 $α ∈ (\frac{π}{2},π)$ ， $sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $sin (\frac{π}{4} + α)$ 的值；

(2)、求 $cos (\frac{5π}{6} −2 α)$ 的值.

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6、已知 $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 3$ ，在下列条件下求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(1)、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行时；

(2)、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ﹔

(3)、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直时．

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7、已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m - 3) i$ ， $m \in R$ （i为虚数单位）．

(1)、当 $m = 2$ 时，求复数 $z \bar{z}$ 的值；

(2)、若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．

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8、已知 $A (- 2, 4), B (1, 3), C (m, n)$ ，若 $A, B, C$ 三点共线，则 $m, n$ 的关系式为.

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9、若 $tan α = - 2$ ，则 $tan 2 α =$ ， $tan (2 α + \frac{π}{4}) =$

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10、复数 $3 i - 1$ 的共轭复数是．

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11、下列函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \tan x$ B、 $y = | \sin x |$ C、 $y = \cos^{2} x$ D、 $y = - \sin x \cos x$

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12、(多选)下列命题的判断正确的是（）

A、若向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 共线，则A，B，C，D四点在一条直线上 B、若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 共线 C、若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 不共线 D、若向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B C}$ 共线，则A，B，C三点在一条直线上

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13、关于复数，给出下列命题正确的是（）

A、 $3 > 3 i$ B、 $16 > {(4 i)}^{2}$ C、 $2 + i > 1 + i$ D、 $|2 + 3 i| > |2 + i|$ .

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14、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量， $|2 \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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15、在 $△ A B C$ 中， $A = 120 °, C = 15 °, A C = \sqrt{6}$ ，则 $B C =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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16、 $\cos 163 ° \cos 223 ° + \cos 253 ° \cos 313 °$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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17、八卦是中国文化中的哲学概念，图 $1$ 是八卦模型图，其平面图形记为图 $2$ 中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $O A = 1$ ，给出下列结论：
① $\vec{B F} - \vec{H F} + \vec{H D} = \vec{0}$ ；       ② $\vec{O A} + \vec{O C} = - \sqrt{2} \vec{O F}$ ；
③ $\vec{A E} + \vec{F C} - \vec{G E} = \vec{A B}$ ；       ④ $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} + \vec{O G} + \vec{O H} = \vec{0}$ .
其中正确的结论为（       ）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③

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18、已知是 $i$ 虚数单位，则复数 $\frac{1 + 2 i}{1 + i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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19、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (m, 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、6 D、 $- 6$

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20、如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ．
（1）证明： $A_{1} C$ $⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；
（2）若 $D$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，在棱 $A B$ 上是否存在一点 $E$ ，使DE∥平面 $A B_{1} C_{1}$ ？证明你的结论．

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