甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷

试卷日期：2024-06-05 考试类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (m, 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、6 D、 $- 6$

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2. 已知是 $i$ 虚数单位，则复数 $\frac{1 + 2 i}{1 + i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 八卦是中国文化中的哲学概念，图 $1$ 是八卦模型图，其平面图形记为图 $2$ 中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $O A = 1$ ，给出下列结论：
① $\vec{B F} - \vec{H F} + \vec{H D} = \vec{0}$ ；       ② $\vec{O A} + \vec{O C} = - \sqrt{2} \vec{O F}$ ；
③ $\vec{A E} + \vec{F C} - \vec{G E} = \vec{A B}$ ；       ④ $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} + \vec{O G} + \vec{O H} = \vec{0}$ .
其中正确的结论为（       ）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③

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4. $\cos 163 ° \cos 223 ° + \cos 253 ° \cos 313 °$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A = 120 °, C = 15 °, A C = \sqrt{6}$ ，则 $B C =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 一物体受到相互垂直的两个力f₁、f₂的作用，两力大小都为 $5 \sqrt{3} N$ ，则两个力的合力的大小为（）

A、 $10 \sqrt{3} N$ B、0 $N$ C、 $5 \sqrt{6} N$ D、 $\frac{5 \sqrt{6}}{2} N$

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7. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量， $|2 \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 在△ABC中，若AB=4，BC=5，B=60°，则AC=（　　）

A、 $\sqrt{21}$ B、 $\sqrt{31}$ C、 $\sqrt{51}$ D、 $\sqrt{61}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 关于复数，给出下列命题正确的是（）

A、 $3 > 3 i$ B、 $16 > {(4 i)}^{2}$ C、 $2 + i > 1 + i$ D、 $|2 + 3 i| > |2 + i|$ .

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10. (多选)下列命题的判断正确的是（）

A、若向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 共线，则A，B，C，D四点在一条直线上 B、若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 共线 C、若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 不共线 D、若向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B C}$ 共线，则A，B，C三点在一条直线上

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11. 下列函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \tan x$ B、 $y = | \sin x |$ C、 $y = \cos^{2} x$ D、 $y = - \sin x \cos x$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 复数 $3 i - 1$ 的共轭复数是．

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13. 若 $tan α = - 2$ ，则 $tan 2 α =$ ， $tan (2 α + \frac{π}{4}) =$

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14. 已知 $A (- 2, 4), B (1, 3), C (m, n)$ ，若 $A, B, C$ 三点共线，则 $m, n$ 的关系式为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m - 3) i$ ， $m \in R$ （i为虚数单位）．

(1)、当 $m = 2$ 时，求复数 $z \bar{z}$ 的值；

(2)、若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．

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16. 已知 $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 3$ ，在下列条件下求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(1)、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行时；

(2)、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ﹔

(3)、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直时．

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17. 已知 $α ∈ (\frac{π}{2},π)$ ， $sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $sin (\frac{π}{4} + α)$ 的值；

(2)、求 $cos (\frac{5π}{6} −2 α)$ 的值.

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18. 已知 $\sin (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $\sin (α - β) = - \frac{1}{5}$ ，求 $\frac{\tan α}{\tan β}$ 的值．

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19. 已知 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} + 2 {sin}^{2} \frac{x}{2} - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、已知 $α, β$ 均为锐角， $f (α + \frac{π}{6}) = \frac{8}{5}, cos β = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $sin (α - β)$ 的值.

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