相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中，分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，两弧相交于点M、N ．作直线MN ，交AC于点 $D$ ，交AB于点 $E$ ，连接BD ．若 $A B = 7, A C = 12, B C = 10$ ，则 $△ B C D$ 的周长为（）

A、18 B、19 C、22 D、25

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2、把分式 $\frac{2 x - 3 y}{x + y}$ 中的x ， y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（）

A、扩大为原来的4倍 B、扩大为原来的8倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{4}$ D、不变

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3、已知 $x < y$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $x + 5 < y - 5$ B、 $- 2 x < - 2 y$ C、 $a^{2} x^{2} < a^{2} y^{2}$ D、 $\frac{x}{3} < \frac{y}{3}$

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4、志愿服务传递爱心，传播文明．下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、【特例感知】

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 12 0^{°}, B C = 2, A B = 4$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $6 0^{°}$ 得到 $△ A D E$ ，连接CD ，则 $C D =$ ▲ ；

(2)、【类比迁移】
如图2，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，且满足点B ， C ， E三点共线．若 $∠ B E D = 9 0^{°}$ ，请猜想BE ， DE ， AE之间具有怎样的数量关系？并说明理由．

(3)、【问题解决】
如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公园，其中点 $A$ 为公园入口，点 $B$ ，点 $C$ 是公园出口，入口 $A$ 与出口B ， C的距离相等，且满足 $∠ B A C = 9 0^{°}$ ，点 $D$ 为公园中的观景点，若 $A D = 200 \sqrt{2}$ 米， $C D = 200$ 米，计划修建一条观赏栈道BD ，要使得栈道尽可能地长，求四边形ABCD的面积．

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6、【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用．他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知 $y = 2 | x - 2 | - 2$ ，下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值．
$x$
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
$y$
…
6
4
2
0
-2
$a$
2
…

(1)、 $a =$     ▲        ；

(2)、描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接．根据函数图象写出该函数的一条性质：    ▲        ；

(3)、【拓展应用】
若点 $A (m, p), B (n, p)$ 均在该函数图象上，请写出m ， n满足的数量关系：    ▲        ；

(4)、结合函数 $y = 2 | x - 2 | - 2$ 的图象，请写出不等式 $2 | x - 2 | - 2 > x - 1$ 的解集：    ▲         ．

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7、目前，龙岗区以“打造低空经济产业生态建设示范区”为目标，抢抓低空经济发展先机．某航模店看准商机，推出了A和B两款飞机模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．A、B两款飞机模型的售价，进价如下表所示：

进价
售价
A模型
20元
30元
B模型
30元
45元

(1)、该航模店至少购进多少个A款飞机模型？

(2)、如果B模型的进价上调2元，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．请求出航模店将购进的两种模型全部卖出后能获得的最大利润．

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8、某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析．如图， $△ A B C$ 为主梁框架， $∠ A B C$ 是桥墩支撑角度的2倍，即 $∠ A B C = 2 ∠ C$ ，工程师计划在 $∠ B A C$ 的角平分线处安装钢架AD ，交底梁BC于点 $D$ ，为确保稳定性，必须过点 $B$ 焊接加固钢索BE ，使得 $B E ⊥ A D$ ，分别交AD ， AC于点F ， E ．

(1)、求证：加固后的 $△ A B E$ 是等腰三角形；

(2)、经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距BD为5米，求原始支撑段AB的长度．

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9、在2025年春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，身着花袄、手持花绢，踏着节奏明快的舞步，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器秧歌”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．如图，它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，三个机器人A、B、C构成 $△ A B C$ ，其初始位置坐标分别为 $A (1, 4), B (3, 1), C (4, 4)$ ，另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的 $△ D E F$ 与 $△ A B C$ 关于点 $M (5, 5)$ 成中心对称．

(1)、在图中画出 $△ D E F$ ；

(2)、为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、队形继续进行变换， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $A_{1}$ 顺时针旋转 $9 0^{°}$ 得到 $△ A_{1} B_{2} C_{2}$ ，请写出此时 $B_{2}$ 的坐标 ▲ ．

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10、解不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x - 1 ⩽ 3 (x + 1), \\ \frac{2 x - 1}{2} + \frac{5 x - 1}{4} > 1, \end{array}$ 并写出所有的整数解．

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11、因式分解：

(1)、 $\frac{1}{4} a^{2} - 9 b^{2}$ ；

(2)、 $4 x^{2} - 8 x y + 4 y^{2}$ ．

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12、如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ，按以下步骤作图：①分别以点 $A$ 和 $B$ 为圆心、大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 和 $N$ ；②作直线MN交边BC于点 $D$ ．若 $B C = 2 A C = 8$ ，则CD的长为．

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13、若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 2 < x + 6, \\ x < m \end{array}$ 的解集是 $x < 4$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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14、若点 $A (- 2025, 2024)$ 与点 $B (a, b)$ 关于原点 $O$ 成中心对称，则 $a + b =$ ．

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15、分解因式： $7 b^{3} - 21 b^{2} =$ ．

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16、如图，将含有 $6 0^{°}$ 角的三角板ABC绕顶点 $C (∠ A C B = 6 0^{°})$ 逆时针旋转一个角度 $α (0^{°} < α < 9 0^{°})$ 得到 $△ E D C$ ，若AB ， CE相交于点 $F, A E = A F$ ，则旋转角 $α =$ （）

A、 $3 0^{°}$ B、 $3 5^{°}$ C、 $4 0^{°}$ D、 $4 5^{°}$

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17、校园的一角如图所示，其中线段 $A B, B C, C D$ 表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域内找到一点 $P$ ，使得点 $P$ 到三面围墙的距离都相等，那么这个点 $P$ 的位置是（）

A、线段AC ， BD的交点 B、 $∠ A B C, ∠ B C D$ 角平分线的交点 C、线段AB ， BC垂直平分线的交点 D、线段BC ， CD垂直平分线的交点

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18、某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元／千克，香蕉的单价为8元／千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为 $x$ 千克，依题意可列不等式组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + (3 x - 4) ⩾ 40, \\ 15 x + 8 (3 x - 4) < 500 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + (3 x - 4) ⩾ 40, \\ 15 x + 8 (3 x - 4) ⩽ 500 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + (3 x - 4) ⩽ 40, \\ 15 x + 8 (3 x - 4) > 500 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + (3 x - 4) ⩽ 40, \\ 15 x + 8 (3 x - 4) < 500 \end{array}$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ A = 4 0^{°}, A C$ 的垂直平分线分别交AB ， AC于 $D$ ， $E$ 两点，连接CD ．则 $∠ B C D$ 等于（）

A、 $2 0^{°}$ B、 $3 0^{°}$ C、 $4 0^{°}$ D、 $7 0^{°}$

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20、如图，在平面直角坐标系中，平移 $△ A B C$ 至 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的位置．若顶点 $A (- 3, 4)$ 的对应点是 $A_{1} (2, 5)$ ，则点 $B (- 4, 2)$ 的对应点 $B_{1}$ 的坐标是（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(1, 1)$ C、 $(3, 1)$ D、 $(2, 2)$

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$x$	…	-2	-1	0	1	2	3	4	…
$y$	…	6	4	2	0	-2	$a$	2	…

	进价	售价
A模型	20元	30元
B模型	30元	45元