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1、某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为.

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2、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $I$ ，区间 $D \subseteq I$ ，对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D (x_{1} \neq x_{2})$ ，恒满足 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 在区间 $D$ 上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（）

A、 $f (x) = \ln x$ B、 $f (x) = e^{x}$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = \sqrt{x}$

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3、已知函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称，且满足 $f (x + 1) + f (3 - x) = 0$ ，且当 $x \in (2, 4)$ 时， $f (x) = - \log_{\frac{1}{2}} (x - 1) + m$ ，若 $\frac{f (2025) - 1}{2} = f (- 1)$ ，则 $m$ 等于（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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4、若 $a = 2^{\frac{1}{3}}$ ， $b = \log_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = \sin \frac{1}{3}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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5、设集合 $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {4, 5}$ ， $C = {x + y | x \in A, y \in B}$ ，则 $C$ 中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6、已知复数 $z = i^{3} (1 + i)$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ．

(1)、比较 $a^{2} + a$ 与 $2 a b - b^{2}$ 的大小；

(2)、若 $a + 9 b + 7 = a b$ ，求 $a b$ 的最小值；

(3)、若 $b + \frac{1}{a} = a (a \leq 5)$ ，求 $b$ 的取值范围．

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8、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 6 x < 55\}$ ， $B = \{x |x > 2 m - 1\}$ .

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap (∁_{R} B)$ 中整数元素的个数为3，写出 $m$ 的一个值.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{8}{x}$ ， $x \in [1, 2]$ ， $g (x) = a x + 2 a - 1$ ， $x \in [- 1, 3]$ .对于任意的 $x_{1} \in [1, 2]$ ，存在 $x_{2} \in [- 1, 3]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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10、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{8 - x}}{3 x - 1}$ 的定义域为．

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11、若函数 $f (3 x - 1)$ 的定义域为 $(0, 3)$ ，则函数 $f (1 - 3 x)$ 的定义域为（）

A、 $(- 3, 0)$ B、 $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ C、 $(- 1, 8)$ D、 $(- \frac{7}{3}, \frac{2}{3})$

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12、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 1, x \leq 0 \\ \frac{1}{x - a}, x > 0 \end{array}$ ，且 $f (f (- 1)) = \frac{1}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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13、已知集合 $A = \{0, 1, 4, 6, 7, 8, 10\}$ ， $B = \{x |x = 2 n, n \in N\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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14、“ $\forall x \in Z$ ， $\sqrt{|x|} \in Z$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in Z$ ， $\sqrt{|x|} \in Z$ B、 $\exists x \in Z$ ， $\sqrt{|x|} \notin Z$ C、 $\exists x \notin Z$ ， $\sqrt{|x|} \notin Z$ D、 $\forall x \in Z$ ， $\sqrt{|x|} \notin Z$

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15、古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $k (k > 0$ 且 $k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中， $N (1, 0), M (4, 0)$ ，动点 $Q$ 满足 $\frac{|Q M|}{|Q N|} = 2$ ，设动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $x - y + 1 = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、若曲线 $C$ 与 $x$ 轴的交点为 $E, F$ ，直线 $l : x = m y - 1$ 与曲线 $C$ 交于 $G, H$ 两点，直线 $E G$ 与直线 $F H$ 交于点 $D$ ，证明：点 $D$ 在定直线上．

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16、已知动点 $P$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上， $Q (- 2, 3)$ ，点 $P$ 到 $C$ 的准线的距离为 $d$ ，且 $d + |P Q|$ 的最小值为5.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且直线 $Q A$ 的斜率与直线 $Q B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求 $l$ 的斜率.

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17、已知点 $A (- 1, 1), B (0, - 1), C (3, 0)$ ，且四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

(1)、求点 $D$ 的坐标；

(2)、求平行四边形 $A B C D$ 的面积．

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18、若过圆 $C : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 外一点 $P (2, - 2)$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，且 $|A B| = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $r =$ ．

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19、直线 $l : x {sin}^{2} θ - y + 2 = 0$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围是．

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20、椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的短轴长为，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.

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