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1、已知 $A = \{a - 1, {(a + 1)}^{2}, a^{2} + a - 1\}$ ，若 $1 \in A$ ，则实数 $a$ 的取值构成的集合 $B$ 的真子集个数是（）

A、1 B、3 C、7 D、15

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2、已知不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\{x |3 < x < 4\}$ ，则 $c x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |- \frac{1}{3} < x < - \frac{1}{4}\}$ B、 $\{x |\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}\}$ C、 $\{x |x < \frac{1}{4}$ 或 $x > \frac{1}{3}\}$ D、 $\{x |x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > - \frac{1}{4}\}$

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B // C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 C D = 2 B C$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点， $B D = 4$ ， $P B = P C = P D = \sqrt{5}$ .

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值.

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4、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $A B = A P = B C = 1$ ， $A D = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若E为PC的中点，求 $P D$ 与平面 $A E D$ 所成角的正弦值.

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5、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $P D = D C = 2$ ， M为BC的中点．

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P D B$ ；

(2)、求点D到平面 $P A M$ 的距离．

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6、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E，F分别 $A B, P D$ 的中点，且 $P A = A D$ ．

(1)、求证： $A F //$ 平面 $P E C$ ；

(2)、求证： $A F ⊥ P C$ ．

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7、如图， $60 °$ 的二面角的棱上有 $A$ ， $B$ 两点，直线 $A C$ ， $B D$ 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 $A B ．$ 已知 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， BD=7，则 $C D$ 的长为.

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8、在空间直角坐标系中，若点 $A (1, 2, - 1), B (- 3, - 1, 4)$ ，则 $| A B | =$ .

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9、如图，点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动（ $P$ 点异于 $B$ ， $C_{1}$ 点），则下列结论正确的是（）

A、异面直线 $B D$ 与 $A B_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积不变 D、直线 $A_{1} P$ 与平面 $A D_{1} C_{1} B$ 所成角正弦值的取值范围为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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10、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ， P为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则 $\vec{A C_{1}} \cdot \vec{B P} =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、已知平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则下列四式中错误的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{C B} = \vec{A C}$ B、 $\vec{A C^{'}} = \vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{C C^{'}}$ C、 $\vec{A A^{'}} = \vec{C C^{'}}$ D、 $\vec{A B} + \vec{B B^{'}} + \vec{B C} + \vec{C^{'} C} = \vec{A C^{'}}$

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12、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b + a b = 6$ ．

(1)、求 $a b$ 的最大值；

(2)、求 $a + 2 b$ 的最小值；

(3)、求 $a + b$ 的最小值．

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13、已知全集 $U = \{- 4, - 1, 0, 1, 2, 4\}$ ， $M = \{x \in Z |0 \leq x < 3\}$ ， $N = \{x |x^{2} - x - 2 = 0\}$ .

(1)、求 $M \cap N$ ；

(2)、求 $(∁_{U} M) \cup N$ ；

(3)、求 $(∁_{U} M) \cap (∁_{U} N)$ .

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14、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (a + 1) x + a < 0$ 的解集中至多包含 $1$ 个整数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15、已知 $p : \{\begin{array}{l} 3 x - 1 > 5 \\ 15 > 2 x - 1 > 0 \end{array}, q : x \geq 3 m + 1$ 或 $x \leq 3 m - 3$ .若 $p$ 是 $\neg q$ 的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16、设正实数 $m, n$ 满足 $m + n = 1$ ，则（）

A、 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{m n}$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ D、 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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17、已知集合 $M = \{x |x = m + \frac{1}{6}, m \in Z\}$ ， $N = \{x |x = \frac{n}{2} - \frac{1}{3}, n \in Z\}$ ， $P = \{x |x = \frac{p}{2} + \frac{1}{6}, p \in Z\}$ ，则 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 的关系满足（）

A、 $M = N \subseteq P$ B、 $M \subseteq N = P$ C、 $M \subseteq N \subseteq P$ D、 $N \subseteq P \subseteq M$

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18、命题“ $\forall x \in R, a x^{2} + 4 a x + 3 > 0$ ”为真命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{3}{4}]$ B、 $(0, \frac{3}{4})$ C、 $[0, \frac{3}{4})$ D、 $(0, \frac{3}{4}]$

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19、有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是 $a, b, c, d$ ，已知 $a + b = c + d$ ， $a + d > b + c$ ， $a + c < b$ ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（）．

A、 $d > b > a > c$ B、 $b > c > d > a$ C、 $d > b > c > a$ D、 $c > a > d > b$

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20、若非空集合 $A$ 、 $B$ 满足 $A \subseteq B$ ， $U$ 为全集，则下列集合中表示空集的是（）

A、 $A \cap B$ B、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ C、 $(∁_{U} A) \cap B$ D、 $A \cap (∁_{U} B)$

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