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1、若复数z满足 $2 \bar{z} + i \cdot z = 4 + 5 i$ ，则z在复平面中对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合 $A$ 和 $B$ ，定义和集 $A + B = \{a + b| a \in A, b \in B\}$ ，用符号 $d (A + B)$ 表示和集 $A + B$ 内的元素个数.

(1)、已知集合 $A = \{1, 3, 5\}$ ， $B = \{1, 2, 6\}$ ， $C = \{1, 2, 6, x\}$ ，若 $A + B = A + C$ ，求 $x$ 的值；

(2)、记集合 $A_{n} = \{1, 2, \dots, n\}$ ， $B_{n} = \{\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \dots, n \sqrt{2}\}$ ， $C_{n} = A_{n} + B_{n}$ ， $a_{n}$ 为 $C_{n}$ 中所有元素之和， $n \in N^{*}$ ，求证： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \dots + \frac{n}{a_{n}} < 2 (\sqrt{2} - 1)$ ；

(3)、若 $A$ 与 $B$ 都是由 $m (m \geq 3, m \in N^{*})$ 个整数构成的集合，且 $d (A + B) = 2 m - 1$ ，证明：若按一定顺序排列，集合 $A$ 与 $B$ 中的元素是两个公差相等的等差数列.

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3、已知椭圆 $E$ 中心在原点，左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，其四个顶点的连线围成的四边形面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $E$ 的左焦点 $F$ 作斜率存在的两直线 $A B$ 、 $C D$ 分别交椭圆于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，且 $A B ⊥ C D$ ，线段 $A B$ 、 $C D$ 的中点分别为 $M$ 、 $N$ .求四边形 $B C M N$ 面积的最小值.

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4、已知三位整数 $n$ 满足 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则 $n$ 的最大值是．

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5、在三棱锥 $D - A B C$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B D$ ， $A B = A C = B C = B D = A D = 2$ ，则（）

A、三棱锥 $D - A B C$ 的体积为1 B、点 $C$ 到直线AD的距离为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、二面角 $B - A D - C$ 的正切值为2 D、三棱锥 $D - A B C$ 外接球的球心到平面 $A B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6、已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ ，其周期为4，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则（）

A、 $f (2023) = 0$ B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 2]$ C、 $f (x)$ 在 $[4, 6]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $[- 6, 6]$ 上有8个零点

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7、设椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相同的焦距，它们的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 在第一象限的交点为 $P$ ，若点 $P$ 在直线 $y = x$ 上，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 的值为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $a_{4} = b_{4} = 4$ ，则（）

A、 $b_{3} b_{5} \geq a_{3} a_{5}$ B、 $b_{3} + b_{5} \geq a_{3} + a_{5}$ C、 $b_{3} b_{5} \leq a_{3} a_{5}$ D、 $b_{3} + b_{5} \leq a_{3} + a_{5}$

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9、如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若 $\vec{O C}$ =m $\vec{O E} + n \vec{O F}$ ，其中m，n∈R，则m+n的值为（　　）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{7}{3}$

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10、设 $z = (1 + i) (1 - \frac{1}{i})$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、0

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11、在 ${(\sqrt{x} - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）．

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 10$ D、10

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12、随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数 $y$ 与一定范围内的温度 $x$ 有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：
日期
2日
7日
15日
22日
30日
温度 $x /^{\circ} C$
10
11
13
12
8
产卵数 $y$ /个
23
25
30
26
16
（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为 $m$ ， $n$ ，求事件“ $m$ ， $n$ 均不小于25”的概率；
（2）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；
（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \cdot \bar{x}$ .

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13、已知向量 $\vec{a} = (4, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，那么m的值为．

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14、若函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，其图象关于点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 中心对称，则 $φ =$ ．

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{a} x, x > 1 \\ (2 a - 1) x + 4 a, x \leq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上为减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, \frac{1}{6}]$ C、 $[\frac{1}{6}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{6}, \frac{1}{2})$

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16、若集合 $A = \{x |ln x > 1, x \in N^{*}\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} - 6 x - 7 < 0\}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、16 B、15 C、32 D、31

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n + 1} = 3 S_{n} - 2 n + 4$ ，且 $a_{1} = 4$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $f (x) = a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n} x^{n}, n \in N^{*}$ ，讨论 $f^{'} (1)$ 与 $\frac{8 n^{2} + 11 n - 3}{4}$ 的大小关系；

(3)、对任意正整数 $n \in N^{*}, (1 + \frac{1}{a_{1}}) (1 + \frac{1}{a_{2}}) \dots (1 + \frac{1}{a_{n}}) < m$ 恒成立，求正整数 $m$ 的最小值．

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $E (1, \frac{3}{2})$ ，右焦点为 $F, D$ 为上顶点，以点 $D$ 为圆心且过 $F$ 的圆恰好与直线 $x = - 2$ 相切．

(1)、求C的方程；

(2)、过 $(4, 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点（不与椭圆的左，右顶点重合），设直线 $A F, B F$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；

(3)、点 $M, N$ 在 $C$ 上，且 $E Q ⊥ M N, Q$ 为垂足， $|E M| \cdot |E N| = |M N| \cdot |E Q|$ ，求 $|E Q|$ 的最大值．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥ A B, P B = P D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若直线 $C P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{4}, \vec{P Q} = \frac{1}{3} \vec{P C}$ ，求二面角 $B - A Q - C$ 夹角的余弦值．

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $4 b {sin}^{2} \frac{A}{2} + c = 2 b$

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、若 $A D = 3$ ，且 $D$ 是边 $B C$ 的中点，求 $△ A B C$ 的面积最大值．

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日期	2日	7日	15日	22日	30日
温度 $x /^{\circ} C$	10	11	13	12	8
产卵数 $y$ /个	23	25	30	26	16