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1、记代数式 $M = {log}_{a} (|x - a^{2}| + |x - 2 a + 1| - 9), N = {(- 1 - x)}^{\frac{1}{6}} + {(4 + x)}^{\frac{3}{8}}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求使代数式 $M$ 有意义的实数 $x$ 的集合；

(2)、若存在实数 $x$ 使得代数式 $M + N$ 有意义，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …….

(1)、写出 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ ，并求出 $a_{n + 1}$ 与 $a_{n}$ 之间的递推关系式；

(2)、求证：数列 $\{a_{n} + 40\}$ 为等比数列，并求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

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3、已知 $f (x) = sin ω x (ω > 0)$ .

(1)、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期是 $4 π$ ，求 $ω$ ，并求此时 $f (x) = \frac{1}{2}$ 的解集；

(2)、已知 $ω = 1$ ， $g (x) = f^{2} (x) + \sqrt{3} f (- x) f (\frac{π}{2} - x)$ ，求函数 $y = g (x)$ ， $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 的值域.

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4、已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，且 $λ + 2 μ = 1$ ．若对每一个确定的向量 $\vec{a}$ ，记 $|\vec{c}|$ 的最小值为 $m$ ．现有如下两个命题
命题 $P :$ 当 $\vec{a}$ 变化时， $m$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ ；
命题 $Q$ ：当 $\vec{a}$ 变化时， $m$ 可以取到最小值0；
则下列选项中，正确的是（）

A、 $P$ 为真命题， $Q$ 为假命题 B、 $P$ 为假命题， $Q$ 为真命题 C、 $P$ 、 $Q$ 都为真命题 D、 $P$ 、 $Q$ 都为假命题

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5、若实数 $x$ 、 $y$ 、 $m$ 满足 $|x - m| < |y - m|$ ，则称 $x$ 比 $y$ 接近 $m$ .若围棋状态空间复杂度的上限M约为 $3^{361}$ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为 $10^{80}$ ，则下列各数中最接近 $\frac{M}{N}$ 的是（）

A、10³³ B、10⁵³ C、10⁷³ D、10⁹³

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6、若 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a b > 0$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq a + b$ B、 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 4 a b$

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7、已知等差数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ ，若存在有穷等比数列 $B : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{N}$ ，其中 $b_{1} = 1$ ，公比为 $q$ ，满足 $b_{k - 1} \leq a_{k - 1} \leq b_{k}$ ，其中 $k = 2, 3, \dots, N$ ，则称数列 $B$ 为数列 $A$ 的长度为 $N$ 的“等比伴随数列”．数列 $A$ 的通项公式为 $a_{n} = n$ ，数列 $B$ 为数列 $A$ 的长度为 $N$ 的“等比伴随数列”，则 $N$ 的最大值为．

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8、若函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \{\begin{matrix} - a x + 1, x < a \\ {(x - 2)}^{2}, x \geq a \end{matrix}$ ，且存在最小值，则a的取值范围为．

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9、设 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots$ ， $A_{7}$ 是均含有 $2$ 个元素的集合，且 $A_{1} \cap A_{7} = \emptyset$ ， $A_{i} \cap A_{i + 1} = \emptyset (i = 1, 2, 3, \dots, 6)$ ，记 $B = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup \dots \cup A_{7}$ ，则 $B$ 中元素个数的最小值是．

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10、下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据： $A B = 34.64 cm$ ， $A D = 10 cm, B E = 14 cm, A = B = \frac{π}{6}$ ，则 $D, E$ 两点间距离为cm.（精确到1cm）

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11、若函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 在区间 $(0, 1)$ 上有极值点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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12、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - x + m < 0$ 的解集是 $\emptyset$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{10} = 24$ ，且 $a_{3} = 6$ ，则 $S_{8} =$ ．

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14、已知点 $P (3, - 4)$ 是角 $α$ 终边上一点，则 $cos 2 α =$ ．

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15、已知平面向量 $\vec{a} = (5, 0), \vec{b} = (2, - 1)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为．

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16、直线 $x + \sqrt{3} y + 5 = 0$ 的倾斜角是．

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17、若 $z (1 + i) = 2 + 3 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是．

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18、已知集合 $M = {x | - 3 < x < 1}$ ， $N = {x | - 1 \leq x < 4}$ ，则 $M \cup N =$ ．

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19、某服装厂拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用 $x (0 \leq x \leq 4)$ 万元满足 $m = 3 - \frac{1}{x + 1}$ ．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（此处计算每件产品年平均成本时，产品成本仅包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（利润=收入-成本）；
（2）该服装厂2021年的促销费用投入多少万元时，利润最大.

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20、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ .

(1)、求 $f (\frac{1}{3}) + f (3), f (\frac{1}{2}) + f (2)$ 的值；

(2)、探索 $f (\frac{1}{x}) + f (x)$ ；

(3)、利用（2）中结论，求 $f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{1}{2023}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (0) + f (1) + f (2) \dots + f (2023) + f (2024)$ 的值.

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