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1、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (t, - 1), \vec{c} = (- 3, 1)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b})$ ∥ $(2 \vec{a} - \vec{c})$ ，求实数t的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值．

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2、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{b}| =$ .

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3、在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A = 30 °$ ， $a = 7 \sqrt{2}$ ， $c = 14$ ，则 $C =$ ．

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4、下列四个命题为真命题的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 6)$ ，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 可作为平面向量的一组基底 C、若向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (4, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{16}{5}, \frac{12}{5})$ D、若向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 满足 $|\vec{m}| = 2$ ， $|\vec{n}| = 3$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 3$ ，则 $|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{7}$

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5、与向量 $\vec{a} = (- 6, 8)$ 共线的单位向量的坐标为（　　）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

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6、在 $△ A B C$ 中， $A D$ ， $B E$ ， $C F$ 分别是 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ 的中线且交于点 $O$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{C A}$ B、 $\vec{A O} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ C、 $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{0}$ D、 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$

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7、已知点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $D, E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 边上一点， $D$ ， $G$ ， $E$ 三点共线， $F$ 为 $B C$ 的中点，若 $\vec{A F} = λ \vec{A D} + μ \vec{A E}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{4}{μ}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{27}{2}$ B、7 C、 $\frac{9}{2}$ D、6

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8、若函数 $f (x) = \sin ω x - \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{3}$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $3$

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9、已知点E为平行四边形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点，且 $D E = 2 B E$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$

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10、若 $tan θ =−2$ ，则 $\frac{1−sin2 θ}{\sqrt{2} sin θ ⋅sin (θ − \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $− \frac{1}{2}$ C、 $− \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, t)$ ， $\vec{b} = (3, 9)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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12、设随机变量 $X \sim B (12, p)$ ，若 $E (X) \leq 4$ ，则 $D (X)$ 的最大值为．

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13、若 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 4$ ，向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$

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14、已知① $a = 2$ ， ② $B = \frac{π}{4}$ ， ③ $c = 2 \sqrt{3} b$ 在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $(b - a) (sin B + sin A) = c (\sqrt{3} sin B - sin C)$
（1）求角A的大小；
（2）已知_______，_______，若 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积；若不存在，说明理由．

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15、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{3}, A D = 6, ∠ D A B = 30 °, ∠ B C D = 120 °$ ．

(1)、当 $B C = C D$ 时，求四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 的长度；

(2)、设 $∠ C B D = θ$ ，记四边形 $A B C D$ 的面积为 $f (θ)$ ，求的表达式，并求出它的最大值．

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16、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ $\vec{m} = (2 cos C, a cos B + b cos A),$ $\vec{n} = (c, - 1)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}, a + b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 边 $A B$ 上的高 $h$ ．

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17、（1）已知：复数 $z = {(1 + i)}^{2} + \frac{2 i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，求 $z$ 及 $|z|$ ；
（2）若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根是 $1 + \sqrt{2} i$ ，其中 $m, n \in R$ ， $i$ 是虚数单位，求 $m - n$ 的值．

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18、如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为海里.

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19、向量 $\vec{a} = (x, 1), \vec{b} = (2, y), \vec{c} = (- 2, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ .

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a \sin B = b \sin \frac{B + C}{2}$ ， $a = 3$ ， O为 $△ A B C$ 外接圆圆心，则下列结论正确的有（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 外接圆面积为 $12 π$ C、 $\vec{B O} \cdot \vec{B C} = \frac{9}{2}$ D、 $S_{△ A B C}$ 的最大值为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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