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1、已知方程 $\frac{x^{2}}{k + 5} + \frac{y^{2}}{3 - k} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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2、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 2$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，且 $A B ⊥ A D$ ， $B C ∥ A D$ ， $A D = A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $M$ 为 $P C$ 中点， $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $B E = 1$ ．

(1)、求证： $D M ∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值．

(3)、求点 $C$ 到平面 $P D E$ 的距离．

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4、 $2024$ 年 $10$ 月 $27$ 日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.随机抽取了 $100$ 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计这 $100$ 名候选者面试成绩的平均数；

(2)、若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 $20$ 人，担任了本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 $62$ 和 $40$ ，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 $80$ 和 $50$ ，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $m$ ， $\bar{x_{1}}$ ， $s_{1}^{2}$ ； $n$ ， $\bar{x_{2}}$ ， $s_{2}^{2}$ ，记两组数据总体的样本平均数为 $\bar{w}$ .则总体样本方差 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x_{1}} - \bar{w})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{x_{2}} - \bar{w})}^{2}])$ .

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5、 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (4, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (3, 1)$ .

(1)、求边 $A B$ 上的中线所在直线的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的外接圆 $G$ （ $G$ 为圆心）的标准方程.

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6、同时掷两个骰子一次，计算向上的点数，求：

(1)、点数之和是7的概率；

(2)、点数中恰有一个奇数和一个偶数的概率．

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7、空间直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且方向向量为 $\vec{n} = (u, v, w) (u v w \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{u} = \frac{y - y_{0}}{v} = \frac{z - z_{0}}{w}$ ，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $x - y + z + 1 = 0$ ，直线 $l$ 是两个平面 $x - y + 2 = 0$ 与 $2 x - z + 1 = 0$ 的交线，则平面 $α$ 的法向量为；直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为.

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8、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是

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9、若向量 $\vec{a} = (1, λ, 1), \vec{b} = (2, - 1, - 2)$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则 $λ$ 等于（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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10、从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11、某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高（单位：cm）数据按从小到大排序如下：
162   162   163   165   165   165   165   167   167   167
168   168   170   170   171   173   175   175   178   178
则这20名队员身高的第75百分位数为（     ）

A、171 B、172 C、173 D、174

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12、为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为 $k : 3 : 5$ ，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为（）

A、750 B、300 C、450 D、150

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13、已知函数 $f (x) = x |λ - x| (x \in R)$ .

(1)、若 $f (4) = 0$ ，当 $x \in [2, 5]$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、设实数 $λ \geq 1$ ，若不等式 $λ - 2 \leq f (x)$ 对任意的 $x \in [1, 3]$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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14、求下列函数的解析式及定义域

(1)、 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $3 f (x + 1) - f (x) = 2 x + 9$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知函数 $f (\sqrt{x} + 2) = x + 2 \sqrt{x}$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式，定义域；

(3)、已知 $g (x) - 3 g (\frac{1}{x}) = x + 2$ ，求 $g (x)$ 的解析式.

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15、已知幂函数 $f (x) = (2 m^{2} + m) x^{m}$ 的图象过点 $(4, 2)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + \frac{9}{f (x) + 1}$ ，求 $g (x)$ 的最小值．

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16、已知 $x > 0$ ， $x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{(x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}) (x + x^{- 1})}{x - x^{- 1}}$ 的值为.

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17、函数 $f (x) = 2 x - 1 + \sqrt{x - 2}$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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18、已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $2 a + b > 0$ B、 $a b c < 0$ C、关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为 $\{x |x < \frac{1}{m}$ 或 $x > \frac{1}{n}\}$ D、 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} + 2 \leq 0$

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19、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x - \frac{2}{x + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) = x + \frac{2}{1 - x}$ B、 $x f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $f (0) = - 2$ D、 $|f (x)|$ 的单调递增区间为 $(- 1, 0)$ ， $(1, + \infty)$

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 x + 2, x < 0 \\ \sqrt{x}, 0 \leq x \leq 4 \\ x^{2} - 8 x + 14, x > 4 \end{matrix},$ 若 $f (a) = 2$ ，则 $f (5 - a)$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\sqrt{3}$

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