相关试卷

1、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图，则一次函数 $y = a x + b^{2} - 4 a c$ 与反比例函数 $y = \frac{b + c}{x}$ ．在同一坐标系内的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2、函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则函数 $y = a x + c$ 与函数 $y = \frac{b}{x}$ 在同一坐标系内的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3、如图，已知 $O A = 6, O B = 8, B C = 2, ⊙ P$ 与OB，~AB均相切，点 $P$ 是线段AC与抛物线 $y = a x^{2}$ 的交点，则 $a$ 的值为（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、5

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4、如图

(1)、问题提出
如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC ， EC＝DC ，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F ．线段AF ， BF ， CF之间存在怎样的数量关系？

(2)、问题探究
①先将问题特殊化如图（2），当点D ， F重合时，直接写出一个等式，表示AF ， BF ， CF之间的数量关系；
②再探究一般情形如图（1），当点D ， F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

(3)、问题拓展
如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC ， EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F ．直接写出一个等式，表示线段AF ， BF ， CF之间的数量关系

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5、如图

(1)、【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE ，连接BD ，则∠ABD＝度

(2)、【解决问题】
①如图2，在边长为 $\sqrt{7}$ 的等边三角形ABC内有一点 $P, ∠ A P C = 9 0^{°}, ∠ B P C = 12 0^{°}$ ，求 $△ A P C$ 的面积．
②如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}, A C = B C, P$ 是 $△ A B C$ 内的一点，若 $P B = 1, P A = 3$ ， $∠ B P C = 13 5^{°}$ ，则 $P C =$ ▲ ．

(3)、【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量 $A B = 4, B C = 3 \sqrt{2}, ∠ A B C = 7 5^{°}, P$ 为 $△ A B C$ 内的一个动点，连接PA，PB，PC．求 $P A + P B + P C$ 的最小值．

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6、问题背景：如图1，在矩形ABCD中， $A B = 2 \sqrt{3}, ∠ A B D = 3 0^{°}$ ，点 $E$ 是边AB的中点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ 交BD于点 $F$ ．

(1)、在一次数学活动中，小王同学将图1中的 $△ B E F$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转 $9 0^{°}$ ，如图2所示，得到结论：① $\frac{A E}{D F} =$ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．

(2)、小王同学继续将 $△ B E F$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

(3)、根据以上探究，将 $△ B E F$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $18 0^{°}$ ，设直线AE与DF的交点为 $P$ ，在旋转过程中，点 $P$ 的位置也随之改变，请思考点 $P$ 运动的轨迹，直接写出点 $P$ 运动的路程．（结果保留 $π$ ）

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7、阅读材料：若满足 $(8 - x) (x - 6) = - 3$ ，求 $(8 - x)^{2} + (x - 6)^{2}$ 的值．
解：设 $8 - x = a, x - 6 = b$ ，则 $(8 - x) (x - 6) = a b = - 3, a + b =$ $8 - x + x - 6 = 2$ ．
所以 $(8 - x)^{2} + (x - 6)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 2^{2} - 2 \times$ $(- 3) = 10$ ．
请仿照上例解决下面的问题：

(1)、问题发现：若 $x$ 满足 $(3 - x) (x - 2) = - 10$ ，求 $(3 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$ 的值；

(2)、类比探究：若 $x$ 满足 $(2022 - x)^{2} + (2021 - x)^{2} = 2020$ ．求 $(2022 - x) (2021 - x)$ 的值；

(3)、拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD，~CD，交NP和MP于H，~Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为 $x, A E = 10, C G = 20$ ，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．

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8、在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC ，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA ， AE交边BC于点F ，连接CE ．

(1)、特例发现：如图1，当AD＝AF时，
①求证：BD＝CF；
②推断：∠ACE＝ ▲ °；

(2)、探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；

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9、将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α．连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E ，连接DB'，

(1)、如图1，当 $a = 6 0^{°}$ 时， $△ D E B^{^{'}}$ 的形状为，连接BD，可求出 $\frac{B B^{^{'}}}{C E}$ 的值为．

(2)、当 $0^{°} < a < 36 0^{°}$ 且 $a \neq 9 0^{°}$ 时，
①（1）中的两个结论是否成立？若成立，利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；
②当以点B，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出 $\frac{B E}{B^{^{'}} E}$ 的值．

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10、定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：

(1)、如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？

(2)、如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB ，点B到直线AD的距离为BE ．
①求BE的长；
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．

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11、抛物线 $y = m x^{2} - 2 m x - 3 (m > 0)$ 与 $x$ 轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C且OA=3OB.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、若M ， N是第四象限的抛物线上不同的两点，且△ACN的面积恒小于△ACM的面积，求点M的坐标.

(3)、若点D为抛物线的顶点，P为第三象限的抛物线上的一点，连接AP ， PD ，分别交y轴与点E ， F ，若EF= $\frac{1}{3}$ OC ，求点P的坐标

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12、如图

(1)、观察猜想：
如图1，在ΔABC中，tanB=1，AB=AC=3，AD是∠BAC的平分线，以CD为一边作正形CDEF ，点E与点A重合，则 $\frac{B E}{A F}$ =

(2)、类比探究：
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE、CE、AF ，（1）中的结论是否成立？请按图2加以证明．

(3)、问题解决：当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时，请直接写出线段AF的长．

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13、如图

(1)、【基础巩固】
如图①，∠ABC＝∠ACD＝∠CED＝α，求证：△ABC∽△CED ．

(2)、【尝试应用】
如图②，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E ， F分别为边AD ， AB上两点，将菱形ABCD沿EF翻折，点A恰好落在对角线DB上的点P处，若PD＝2PB ，求 $\frac{A E}{A F}$ 的值．

(3)、【拓展提高】
如图③，在矩形ABCD中，点P是AD边上一点，连接PB ， PC ，若PA＝2，PD＝4，∠BPC＝120°，求AB的长

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14、将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB^'C^'D^' ，连结BD ．

(1)、[探究1]如图1，当α＝90°时，点C^'恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

(2)、[探究2]如图2，连结AC^' ，过点D^'作D^'M∥AC^'交BD于点M ．线段D^'M与DM相等吗？请说明理由．

(3)、[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD^' ， AC^'于点P ， N（如图3），发现线段DN ， MN ， PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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15、若 $a^{m} = 2$ ， $a^{n} = 3$ ，则 $a^{m + n} =$ （）

A、13 B、9 C、8 D、6

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16、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D，下列结论错误的有（）个
①图中只有两对相似三角形；② $B C \cdot A C = A B \cdot C D$ ；③若 $B C = 2 \sqrt{5}$ ， AD＝8，则CD＝4．

A、1个 B、2个 C、3个 D、0个

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17、某商品每次降价 $20 %$ ，连续两次降价后的价格为 $m$ 元，则原价为（）

A、 $1.2 m$ 元 B、 ${0.8}^{2} m$ 元 C、 $\frac{m}{{1.2}^{2}}$ 元 D、 $\frac{m}{{0.8}^{2}}$ 元

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18、函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + b x + 1 = 0$ 的根的情况是( )

A、无实根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、无法确定

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19、在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P ， Q和图形W ，如果在图形W上存在点M ， N（M ， N可以重合）使得PM＝QN ，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．

(1)、如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．
①设点O与线段AB上一点的距离为d ，则d的最小值为，最大值为．
②在P₁（2.5，0），P₂（2，4），P₃（－2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是．

(2)、直线 $l$ 平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线 $l$ 的距离都是1，若点C（x ， y）是直线 $l$ 上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．

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20、如图1， $A C = B C$ ， $C D = C E$ ， $∠ A C B = ∠ D C E = α$ ．

(1)、 $A D$ 、 $B E$ 相交于点 $M$ ．
①求证： $A D = B E$ ；
②用含 $α$ 的式子表示 $∠ A M B$ 的度数；

(2)、如图2，点 $P$ 、 $Q$ 分别是 $A D$ 、 $B E$ 的中点，连接 $C P$ 、 $C Q$ ，判断 $△ C P Q$ 的形状，并加以证明；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 45 °$ ， $B C = \sqrt{8}$ ， $A C = 3$ ，以 $A B$ 为直角边， $B$ 为直角顶点作等腰 $R t △ A B D$ ，则 $C D =$ （直接写出结果）．

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