相关试卷

1、下列运算中，正确的是（）

A、 $3 m + 3 n = 3 m n$ B、 $3 a^{2} - 2 a^{2} = 1$ C、 $2 a^{2} b - 2 b a^{2} = 0$ D、 $x^{3} + 2 x^{3} = 3 x^{6}$

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2、下列选项中，不是正方体展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、中国科学家利用嫦娥六号采回的月壤样品，取得了重要研究成果。其中一项研究表明，月球背面岩浆活动在4200000000年前就已存在，为月球演化研究提供了关键科学证据。其中＂4200000000年＂用科学记数法表示为（）年

A、 $0.42 \times 1 0^{9}$ B、 $4.2 \times 1 0^{9}$ C、 $4.2 \times 1 0^{8}$ D、 $42 \times 1 0^{8}$

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4、如图
图1 图2 备用图

(1)、【问题发现】
如图1，在等腰直角 $△ A B C$ 中，点D是斜边 $B C$ 上任意一点，在 $A D$ 的右侧作等腰直角 $△ A D E$ ，使 $∠ D A E = 90 °$ ， $A D = A E$ ，连接 $C E$ ，则 $∠ A B C$ 和 $∠ A C E$ 的数量关系为；

(2)、【拓展延伸】
如图2，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点D是 $B C$ 边上任意一点（不与点B ， C重合），在 $A D$ 的右侧作等腰 $△ A D E$ ，使 $A D = D E .$ ， $∠ A B C = ∠ A D E$ ，连接 $C E$ ，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)、【归纳应用】
在（2）的条件下，若 $A B = B C = 6$ ， $A C = 4$ ，点D是射线 $B C$ 上任意一点，请直接写出当 $C D = 3$ 时 $C E$ 的长.

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5、【发现问题】
在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠.两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止.我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线.
【提出问题】
在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点 $A$ 处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与水平距离 $x$ （单位： $m$ ）之间有怎样的函数关系.

(1)、【分析问题】
小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度 $y$ 水平距离 $x$ 的几组数据如下：
水平距离 $x$ （ $m$ ）
3
3.6
4.2
4.8
5.2
竖直高度 $y$ （ $m$ ）
10
$11 \frac{1}{2}$
10
$5 \frac{1}{2}$
$\frac{5}{6}$
请把上表中 $x$ ， $y$ 的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、【解决问题】
双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作.从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等.小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度 $y$ 与水平距离 $x$ 近似满足函数关系 $y = - 5 x^{2} + 35 x - 50$ .
①用 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则 $k_{1}$ $k_{2}$ （填“＞”“＜”或“＝”）；
②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误.小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是 $4 \frac{3}{5}$ 米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由.

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6、如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $E$ 是 $A D$ 的中点，过点 $A$ 作 $B C$ 的平行线交 $B E$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $C F$ .
图1 图2

(1)、求证：四边形 $A D C F$ 是菱形.

(2)、如图②，连接 $C E$ ，若 $∠ F C B = 90 °$ ， $C E = 5$ ，求 $A B$ 的长.

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7、初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

(1)、扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 ▲ 度，并将条形统计图补充完整.

(2)、我校初三年级共有1200名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人.

(3)、此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率.

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8、

(1)、计算： $\sqrt{2} s i n 45 ° + t a n 60 ° - 2 c o s 30 ° t a n 30 ° + {(π - 3)}^{0}$

(2)、先化简再求值： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4}$ ，其中 $x = {(\frac{1}{3})}^{- 1} + t a n 45 °$ .

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9、 $c o s 57 °$ $s i n 53 °$ （选填“＞”或“＝”或“＜”）.

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10、实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…， $n$ （ $n$ 为整数，且 $n \geq 3$ ）这n个整数中任取 $a$ （ $1 < a < n$ ）个整数，这 $a$ 个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．

(1)、探究一：
①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数
1，2
1，3，
2，3
2个整数之和
3
4
5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2个整数
1，2
1，3，
1，4
2，3
2，4
3，4
2个整数之和
3
4
5
5
6
7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．
④从1，2，3，…， $n$ （ $n$ 为整数，且 $n \geq 3$ ）这 $n$ 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．

(2)、探究二：
①从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．
②从1，2，3，…， $n$ （ $n$ 为整数，且 $n \geq 4$ ）这 $n$ 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．

(3)、探究三：
从1，2，3，…， $n$ （ $n$ 为整数，且 $n \geq 5$ ）这 $n$ 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．

(4)、归纳结论：
从1，2，3，…， $n$ （ $n$ 为整数，且 $n \geq 3$ ）这 $n$ 个整数中任取 $a$ （ $1 < a < n$ ）个整数，这 $a$ 个整数之和共有种不同的结果．

(5)、问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额．

(6)、拓展延伸：
①从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
②从3，4，5，…， $n + 3$ （ $n$ 为整数，且 $n ≥ 2$ ）这 $(n + 1)$ 个整数中任取 $a$ （ $1 < a < n + 1$ ）个整数，这 $a$ 个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．

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11、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在x轴的正半轴上，顶点C ， D在第一象限内，正比例函数 $y_{1} = 3 x$ 的图象经过点D ，反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点D ，且与边 $B C$ 交于点E ，连接 $O E$ ，已知 $A B = 3$ ．

(1)、点D的坐标是；

(2)、求 $t a n ∠ E O B$ 的值；

(3)、观察图象，请直接写出满足 $y_{2} > 3$ 的x的取值范围；

(4)、连接 $D E$ ，在x轴上取一点P ，使 $S_{△ D P E} = \frac{9}{8}$ ，过点P作 $P Q$ 垂直x轴，交双曲线于点Q ，请直接写出线段PQ的长．

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12、数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数 $y = \frac{x}{| x - 1 |}$ 的图象与性质进行了探究；下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：

(1)、函数 $y = \frac{x}{| x - 1 |}$ 的自变量x的取值范围是；

(2)、下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为；
x
…
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{4}{5}$
$\frac{4}{3}$
$\frac{3}{2}$
2
4
5
…
y
…
$- \frac{3}{4}$
$- \frac{2}{3}$
m
0
1
3
4
4
3
2
$\frac{4}{3}$
$\frac{5}{4}$
…

(3)、根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数 $y = \frac{x}{| x - 1 |}$ 的图象，并写出这个函数的一条性质： ▲ ；

(4)、画出函数 $y = | x |$ 的图象，结合函数图象，直接写出 $| x | \geq \frac{x}{| x - 1 |}$ 时，x的取值范围．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上的点， $A D = A B$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A C$ ， $B D$ 的中点， $A C = 6$ ， $s i n C = \frac{2}{3}$ ，求 $E F$ ， $C F$ 的长．

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14、为了解福田区2015年七年级学生的体育测试情况，随机抽取了该区若干名七年级学生的体育测试成绩等级，绘制如图统计图（不完整）：
请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次抽样调查的样本容量， “A等级”对应扇形的圆心角度数为；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、该区约10000名七年级学生，根据抽样调查结果，请估计其中体育测试成绩为“D等级”的学生人数．

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15、先化简，再求值： $1 - \frac{a + 1}{a^{2} + 2 a} \div \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{3} - 4 a}$ ，请在0、 $\pm 1$ 、 $\pm 2$ 中选一个你喜欢的数字求值．

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16、定义新运算：对于任意实数a ， b ，都有 $a \oplus b = a (a - b) + 1$ ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： $2 \oplus 5 = 2 \times (2 - 5) + 1 = 2 × (- 3) + 1 = - 6 + 1 = - 5$

(1)、 $(- 3) \oplus 4$ 的值为．

(2)、 $(2 x + 3) \oplus (x + 3)$ 化简的结果为．

(3)、若 $2 \oplus x$ 的值大于13，则x的取值范围为．

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17、如图，点C为线段 $A E$ 上一动点（不与点A、E重合），在 $A E$ 同侧分别作等边 $△ A B C$ 和等边 $△ C D E$ ， $A D$ 与 $B E$ 交于点O ， $A D$ 与 $B C$ 交于点P ， $B E$ 与 $C D$ 交于点Q ，连接 $P Q$ 、 $O C$ ．现给出以下结论：① $A D = B E$ ；② $∠ A O B = 60 °$ ；③ $C O$ 平分 $∠ B C D$ ；④ $A O = B O + C O$ ．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）

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18、如图，在 $4 \times 4$ 的方格纸中，有一个格点 $△ A B C$ （三角形的三个顶点都在格点上，每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述，正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的三边都是有理数 B、 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、 $△ A B C$ 的面积为6.5 D、 $△ A B C$ 是直角三角形

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19、八年级学生去距学校s千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了1小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的m倍，设骑车同学的速度为x千米/小时，则可列方程（）

A、 $\frac{s}{x} = \frac{s}{m x} + 1$ B、 $\frac{s}{m x} - \frac{s}{x} = 1$ C、 $\frac{1}{x} = \frac{1}{m x} + 1$ D、 $\frac{s}{m x - x} = 1$

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20、一元二次方程 $5 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A、5，3，1 B、5， $- 3$ ， 1 C、2， $- 3$ ， 1 D、5，1， $- 3$

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水平距离 $x$ （ $m$ ）	3	3.6	4.2	4.8	5.2
竖直高度 $y$ （ $m$ ）	10	$11 \frac{1}{2}$	10	$5 \frac{1}{2}$	$\frac{5}{6}$

所取的2个整数	1，2	1，3，	1，4	2，3	2，4	3，4
2个整数之和	3	4	5	5	6	7

x	…	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{4}{5}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{3}{2}$	2	4	5	…
y	…	$- \frac{3}{4}$	$- \frac{2}{3}$	m	0	1	3	4	4	3	2	$\frac{4}{3}$	$\frac{5}{4}$	…