相关试卷

1、课本再现：

前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？

事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理．

(1)、定理证明

现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程：

已知：如图，线段 $A B$ ， $P A = P B$ ，求证：点 $P$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上．证明：

(2)、解决问题

①已知：如图， $P$ 是 $∠ A O B$ 平分线上的一点， $P C ⊥ O A$ ， $P D ⊥ O B$ ，垂足分别为 $C$ ， $D$ ．求证：

（Ⅰ） $O C = O D$ ；

（Ⅱ） $O P$ 是 $C D$ 的垂直平分线．

②已知 $△ A B C$ 中，如图， $∠ B A C = 135 °$ ， $A B$ ， $A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 于点 $D$ ， $E$ ，垂足分别为 $F$ ， $G$ ，若 $B D = 12$ ， $C E = 9$ ，请直接写出 $D E$ 的长▲ ．

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2、阅读下列材料：
解答“已知 $x - y = 2$ ，且 $x \geq 1$ ， $y \leq 0$ ，试确定 $x + y$ 的取值范围”有如下解法：
解： $∵ x - y = 2$ ， $∴ x = y + 2$ ，又 $x \geq 1$ ， $∴ y + 2 \geq 1$ ， $∴ y \geq - 1$ ．
又 $y \leq 0$ ， $∴ - 1 \leq y \leq 0$ ①
不等式①三者同加2，得 $1 \leq y + 2 \leq 2$ ．即 $1 \leq x \leq 2$ ②
$① + ②$ 得， $0 \leq x + y \leq 2$ ．
问题：

(1)、已知 $x - y = 3$ ，且 $x > 2$ ， $y < 1$ ，求 $x + y$ 的取值范围；

(2)、一家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，求出售一套桌椅（一张桌子 $+$ 一把椅子）定价的范围（定价用w表示）．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 的中点， $O D ⊥ A B$ 于点D ，点O在 $A C$ 的垂直平分线上．

(1)、求证： $△ B O C$ 是等腰三角形．

(2)、若 $∠ B A C = 70 °$ ，求 $∠ B C O$ 的度数．

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4、

(1)、某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表：
月用电量 $x / (k W \cdot h)$
电费价格／［元／ $(k W \cdot h)$ ］
$0 < x \leq 200$
0.48
$200 < x \leq 400$
0.52
$x > 400$
0.78
七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过148元，则李叔家七月份最多可用电多少 $k W \cdot h$ ？

(2)、已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 1 + 5 x > 3 (x - 1) \\ \frac{x}{2} \leq 8 - \frac{3 x}{2} + 2 a \end{array}$ ；当 $a = - 2$ 时，求这个不等式组的解集．

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5、如图所示的是小星同学解不等式的过程．

解不等式： $\frac{2 x - 1}{3} > \frac{3 x - 4}{2}$ ．

解：去分母，得 $2 (2 x - 1) > 3 (3 x - 4)$ ， ①

去括号，得 $4 x - 2 > 9 x - 12$ ， ②

移项，得 $4 x - 9 x > - 12 + 2$ ， ③

合并同类项，得 $- 5 x > - 10$ ， ④

系数化为1，得 $x > 2$ ． ⑤

(1)、小星的解答从第步开始出错（填序号）；

(2)、请写出正确的解答过程．

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6、解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．

(1)、 $2 x > x + 1$

(2)、 ${\begin{array}{l} x + 3 > - 2 x \\ 2 x - 5 < 1 \end{array}$

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7、如图， $△ A B C$ 是等腰三角形，点 $O$ 是底边 $B C$ 上任意一点， $O E$ 、 $O F$ 分别与两边垂直，等腰三角形 $A B C$ 的腰长为5，面积为12，则 $O E + O F$ 的值为．

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8、若不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x + a ＜ 0 \\ 2 x + 7 ＞ 4 x - 1 \end{array}$ 的解集为x＜4，则a的取值范围为（）

A、a＞﹣12 B、a≥﹣12 C、a=﹣12 D、a≤﹣12

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9、不等式 $x \geq 4$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、等腰直角三角形的底角度数为（）

A、 $90 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $15 °$

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11、八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘．
【核心概念】
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道， $(a + b)^{1} = a + b$ ， $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} ．$ 利用多项式的乘法运算，还可以得到： $(a + b)^{3} = (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2}) = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} ．$ 当 $a + b \neq 0$ 时，将计算结果中多项式 $($ 以a降次排序 $)$ 各项的系数排列成表，可得到如图2：

(1)、【任务规划】
任务：请根据素材1和素材2直接写出：
① $(a + b)^{4}$ 展开式中 $a^{3} b$ 的系数是；
② $(a + b)^{10}$ 展开式中所有项的系数和为；

(2)、【项目成效】
成果展示：若 $(2 x - 1)^{2025} = a_{1} x^{2025} + a_{2} x^{2024} + a_{3} x^{2023} + ⋯ + a_{2024} x^{2} + a_{2025} x + a_{2026}$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{2024} + a_{2025}$ 的值．

(3)、【拓展应用】
“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记 $a_{n}$ ，求 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2024}}$ 的值．

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12、定义 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，如 $| \begin{array}{l} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | = 1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2$ ．已知 $A = | \begin{array}{l} 2 x + 1 & 1 \\ n x - 1 & 2 x \end{array} |$ ，已知 $B = | \begin{array}{l} x + 1 & x - 1 \\ x - 1 & x + 1 \end{array} |$ （ $n$ 为常数）

(1)、若 $B = 4$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $A$ 的代数式中不含 $x$ 的一次项，当 $x = 1$ 时，求 $A + B$ 的值．

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13、如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在边AB上，点E、F在边AC上，∠AGF＝∠ABC＝70°，∠1+∠2＝180°．

(1)、试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；

(2)、若DE⊥AC，∠2＝150°，求∠A的度数．

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14、阅读：已知 $a + b = - 4, a b = 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解：∵ $a + b = - 4, a b = 3$ ，
∴ $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = {(- 4)}^{2} - 2 \times 3 = 10$ ．
请你根据上述解题思路解答下面问题：

(1)、已知 $a - b = - 3, a b = - 2$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(2)、已知 $a - b - c = - 10, (a - b) c = - 12$ ，求 ${(a - b)}^{2} + c^{2}$ 的值．

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15、在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、求盒子中黑球的个数；

(2)、若黑球的数量变更为 $m$ 个，且使得任意摸出1个球是白球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，求 $m$ ．

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16、

(1)、尺规作图：如图，以 $O$ 为顶点，射线 $O A$ 为一边，在 $∠ A O B$ 之外再作一个角，使其等于 $∠ A O B$ ．（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若 $∠ B O C$ 为 $70 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数为▲ ．

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17、计算下列各题：

(1)、 ${(\frac{1}{3})}^{- 2} + {(2019 - π)}^{0}$ ．

(2)、 ${(x - y)}^{2} + (x + y) (x - y)$

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18、新考法我们定义：三角形 $= a^{b} \cdot a^{c}$ ；若 $x + 2 y = 3$ ，则 $=$ ．

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19、“五一”劳动节某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会（如图，转盘被分为8个相同的小扇形），当指针最终指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针最终指向数字3或5时，该顾客获二等奖（若指针指向分界线则重转）．经统计，当天发放一、二等奖品共600份，那么据此估计参与此次活动的顾客为人．

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20、如图， $A B ∥ C D$ ，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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月用电量 $x / (k W \cdot h)$	电费价格／［元／ $(k W \cdot h)$ ］
$0 < x \leq 200$	0.48
$200 < x \leq 400$	0.52
$x > 400$	0.78