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1、已知二项式 ${(2 - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式，则（）

A、常数项是512 B、有理项（x的指数为整数的项）共有5项 C、第4项和第5项的二项式系数相等 D、展开式的二项式系数和为512

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2、已知函数 $f (x) = (a e^{x} + e x) (e^{x} + e x)$ 与 $g (x) = e^{2 x}$ 的图象恰有三个不同的公共点（其中 $e$ 为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2}, 0)$ B、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

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3、已知 $(2 + k x) \cdot {(1 + x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，其中 $a_{2} = 25$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} =$ （）

A、16 B、32 C、24 D、48

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4、一袋中有大小相同的 $4$ 个红球和 $2$ 个白球，若从中不放回地取球 $2$ 次，每次任取 $1$ 个球，记“第一次取到红球”为事件 $A$ ， “第二次取到白球”为事件 $B$ ，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{4}{15}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5、今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（）

A、36种 B、45种 C、48种 D、72种

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6、函数 $f (x) = e^{- x} - x - 2$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程是（）

A、 $y + 1 = 0$ B、 $y - 1 = 0$ C、 $2 x + y + 1 = 0$ D、 $2 x + y - 1 = 0$

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 6} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的长轴长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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8、某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{32}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{5}{32}$

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9、抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点 $P (2 \sqrt{2}, 5)$ 且平行于 $y$ 轴的一条光线射向抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上的 $A$ 点，经过反射后的反射光线与 $C$ 相交于点 $B$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、9 C、36 D、 $\frac{9}{2}$

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10、若 $cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $- \frac{9}{25}$

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11、已知集合 $A = \{1, 3, 4\}$ ，集合 $B = \{2, 3, 4, 6\}$ ，则如图中的阴影部分表示（）

A、 $\{3, 4\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{2, 6\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 6\}$

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12、随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 $\{a_{n}\}$ ，规定 $\{Δ a_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的一阶差分数列，其中 $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ ，规定 $\{Δ^{2} a_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的二阶差分数列，其中 $Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{3} (n \in N^{*})$ ，试判断数列 $\{Δ a_{n}\}$ ， $\{Δ^{2} a_{n}\}$ 是否为等差数列，请说明理由?

(2)、数列 $\{{log}_{a} b_{n}\}$ 是以1为公差的等差数列，且 $a > 2$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $Δ^{2} b_{n} = b_{m}$ ，求a的值．

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13、已知各项均不为零的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，其前n项和记为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}^{2} - S_{n - 1}^{2}}{a_{n}} = 2 n^{2}, n \geq 2, n \in N^{*}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}, n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $a_{2}, a_{3}, S_{100}$ ；

(2)、求数列 $\{3^{n} \cdot b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 4 a x + a^{2} ln x$ 在 $x = 1$ 处取得极大值．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e}, e]$ 上的最大值．

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \ln x, x \geq 1 \\ 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1, x < 1 \end{cases}$ ，则 $x \in [- 1, e]$ 时， $f (x)$ 的最小值为，设 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - f (x) + a$ ，若函数 $g (x)$ 有6个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16、已知函数 $f (x) = \frac{a x}{x + 2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线 $l$ 垂直于直线 $x + 2 y - 1 = 0$ ，则实数 $a$ 的值为．

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17、国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为 $63000 π$ 立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，中上部分是底面半径和高都为 $r (r \geq 10)$ 米的圆锥，下部分是底面半径为 $r$ 米､高为 $h$ 米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为 $\sqrt{2} a$ 元，圆柱的侧面､底面每平方米的建造费用为 $a$ 元，设每个容器的制造总费用为 $y$ 元，则下面说法正确的是（）

A、 $10 \leq r < 40$ B、 $h$ 的最大值为 $\frac{1880}{3}$ C、当 $r = 21$ 时， $y = 7029 a π$ D、当 $r = 30$ 时， $y$ 有最小值，最小值为 $6300 a π$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，若 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，有 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = m$ ， $π$ 是圆周率， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(0, e)$ B、 $m > \frac{1}{e}$ C、若 $0 < x_{1} < x_{2} < 4$ ，则 $2 < x_{1} < e$ D、若 $a = e^{3}$ ， $b = 3^{e}$ ， $c = e^{π}$ ， $d = π^{e}$ ， $s = 3^{π}$ ， $t = π^{3}$ ，则 $s$ 最大

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19、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x + 1$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $x_{1} - x_{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 - 2 \ln 2$ B、 $- 2 \ln 2 - 2$ C、 $4 - 2 \ln 2$ D、 $- 2 \ln 2 - 4$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{3}, a_{7}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 1$ 的极值点，设等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{5} = a_{5}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、 $- 18$ 或 $18$ B、 $- 18$ C、 $18$ D、2

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