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1、已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的两个焦点是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，顶点 $A (0, - 2)$ ，点M是双曲线C上一个动点，且 $|{|M F_{1}|}^{2} - {|M F_{2}|}^{2}|$ 的最小值是 $8 \sqrt{5}$ .

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标.

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2、在多面体 $A B C D E$ 中，已知 $A B = A C = 4$ ， $E A = E B = D A = D C = 2 \sqrt{3}$ ， $D E = \frac{1}{2} B C$ 且 $D E / / B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ．

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A E$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值．

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3、已知a，b，c是 $△ A B C$ 中三内角A，B， $C$ 所对的边，设 $△ A B C$ 面积为 $S$ ， $\frac{S}{b^{2} + c^{2} - 4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $a = 2$ ．
（1）求角A的值；
（2）若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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4、某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50), [50, 60), \dots, [90, 100]$ ，并作出如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值；

(3)、若落在 $[50, 60)$ 中的样本数据平均数是52，方差是6；落在 $[60, 70)$ 中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数 $\bar{x}$ 和方差 $σ^{2}$ .

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5、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知 $a sin A + sin B = sin C$ ， $tan C = \frac{4}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆半径r的最大值为.

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6、某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是．

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7、已知 $A$ 、 $B$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右两个顶点， $F$ 为右焦点， $M$ 、 $N$ 是椭圆上异于 $A$ 、 $B$ 的任意两点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、直线 $M A$ 、 $M B$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ B、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则直线 $M A$ 、 $N A$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ C、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则直线 $O M$ 、 $O N$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{3}$ D、若三角形 $O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则直线 $O M$ 、 $O N$ 的斜率之积为 $\frac{3}{4}$

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的两焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交右支于 $A$ 、 $B$ 点，且 $\vec{A B} = 3 \vec{A F_{2}}$ ，若 $∠ F_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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9、若 $\forall a$ 、 $b \in R$ 都有 $a^{2} - a b + 1 = 0$ 恒成立，则（）

A、 $|a + b| \geq 2$ B、 $|a + b| \leq 3$ C、 $a^{2} + b^{2} \leq 4$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 5$

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10、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，满足 $a_{n} + 2 T_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2025} =$ （）

A、 $\frac{1011}{1013}$ B、 $\frac{1012}{1013}$ C、 $\frac{4049}{4051}$ D、 $\frac{4050}{4051}$

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11、若 $\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ - \cos θ} = 2$ ，则 $\frac{\sin θ (1 + \sin 2 θ)}{\sin θ + \cos θ} =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $f (x + \frac{3}{4})$ 为偶函数且 $f (1) = 3$ ，则 $f (2023) + f (2024) =$ （）

A、3 B、 $- 5$ C、 $- 3$ D、0

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13、已知 $z \in C$ ，则“ $z$ 为纯虚数”是“ $z + \bar{z} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, 2 S_{n} = (n + 1) a_{n}, n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $M_{n}$ ，是否存在正整数 $m, n (2 < m < n)$ ，使得 $M_{2}, M_{m}, M_{n}$ 成等差数列？若存在，求出 $m, n$ 的值，若不存在，说明理由；

(3)、记 $c_{n} = {(\sqrt{2})}^{a_{n}} - 1$ ，证明： $\frac{2}{c_{1}^{2}} + \frac{2^{2}}{c_{2}^{2}} + \frac{2^{3}}{c_{3}^{2}} + \dots + \frac{2^{n}}{c_{n}^{2}} < 3$ ．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{2} = - 35$ ， $a_{4} + a_{5} = - 17$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 中，点 $(b_{n}, T_{n})$ 在直线 $y = - x + 1$ 上，其中 $T_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值；

(2)、若 $c_{n} = (a_{n} + 20) b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $G_{n}$ ；

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{2} + a_{4} = 10$ ， $S_{7} = 49$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{20}$ .

(3)、求 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{9} a_{10}}$ .

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17、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{1} + a_{3} = 5$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} a_{n + 1} > 0$ ，数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使得 $S_{n} > 62$ 的最小 $n$ 值.

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18、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{5} + a_{6} = a_{11}$ ， $a_{5} - a_{3} = 6$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $a_{5}$ 和 $a_{8}$ 的等差中项.

(3)、求 $S_{15} - S_{10}$ .

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $2 S_{n} = a_{n + 1} - 2 n - 2$ .将数列 $\{a_{n}\}$ 与数列 $\{2 n - 1\}$ 里面的数照从小到大的规则混合排列，得到一个新的数列 $\{b_{n}\}$ ，则新的数列的前100项的和为.

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20、在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是.

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