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1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2^{n - 1} a_{n} = \frac{n^{2} + n}{2} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{1} = 1$ B、 $a_{n} = \frac{n + 1}{2^{n}}$ C、 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 D、 $S_{n} = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}}$

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d (d \neq 0)$ ， $a_{4}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{6}$ 的等比中项，则（）

A、 $a_{10} = 0$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、 $S_{19} = 0$ D、 $S_{n}$ 有最大值为 $S_{9}$

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3、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 首项为8， $a_{n} - 2 a_{n + 1} = 0$ ，以下结论正确的有（）

A、数列是递增数列 B、 $a_{6}$ 是 $a_{2}$ 和 $a_{10}$ 的等比中项 C、前 $n$ 项的乘积有最大值 D、前 $n$ 项的和有最大值

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4、数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n}{n + 1}$ （ $n$ 为正整数），则 $a_{2022}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2022}$ B、 $\frac{1}{2021}$ C、 $\frac{2021}{2022}$ D、 $\frac{2022}{2021}$

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5、已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为2，若 $a_{1}, a_{2}, a_{3} + 1$ 成等比数列，则 $a_{4} =$ （）

A、 $2 + 3 \sqrt{2}$ B、 $- 2 + 3 \sqrt{2}$ C、 $2 - 3 \sqrt{2}$ D、 $2 + 3 \sqrt{2}$ 或 $2 - 3 \sqrt{2}$

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6、函数 $f (x) = x^{2} - x$ 在区间 $[1, 3]$ 上的平均变化率为（）

A、6 B、3 C、2 D、1

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4, a_{5} = 12$ ，则 $S_{6}$ 等于（）

A、56 B、53 C、55 D、54

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8、若一数列的前4项分别为 $\frac{1}{3}, - \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, - \frac{1}{9}$ ，则该数列的通项公式可能为（）

A、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n + 1}$ B、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1}$ C、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n - 1}$ D、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n - 1}$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a \ln x + (1 - a) x$ .
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x) > \frac{a^{2}}{2}$ 恒成立，求正实数 $a$ 的取值范围.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ .

(1)、求证： $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等比数列.

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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11、函数 $y = x^{2} - \ln x$ 上的点到直线 $y = x - 2$ 的最短距离是．

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12、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - x + \sin x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程是．

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13、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有种.

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14、下列求导正确的是（）

A、 $(\sin x)^{'} = \cos x$ B、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$ C、 $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ D、 $(\log_{2} x)^{'} = \frac{1}{2^{x}}$

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15、 $f (x) = (x + 2) (x^{2} + x + m)$ 在 $R$ 上既有极大值也有极小值，实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $(1, \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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16、函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \cos x$ 在 $[- π, π]$ 上的图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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17、已知函数 $f (x) = f^{'} (1) x^{2} - \ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- 2$

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18、设 $f (x)$ 为可导函数，且满足 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (3 + Δ x) - f (3)}{3 Δ x} = 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线的斜率是（）

A、6 B、2 C、3 D、 $\frac{2}{3}$

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19、若物体的运动方程是 $s = t^{3} + t^{2} - 1$ ， $t = 3$ 时物体的瞬时速度是（）

A、33 B、31 C、39 D、27

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20、已知 $P$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上异于左、右顶点的一个动点，双曲线 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $F_{2} (3, 0)$ ．当 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的最小内角为 $30 °$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程．

(2)、连接 $P F_{1}$ ，交双曲线于另一点 $A$ ，连接 $P F_{2}$ ，交双曲线于另一点 $B$ ，若 $\vec{P F_{1}} = λ \vec{F_{1} A}, \vec{P F_{2}} = μ \vec{F_{2} B}$ ．
①求证： $λ + μ$ 为定值；
②若直线AB的斜率为−1，求点P的坐标．

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