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1、已知等腰直角 $△ A B C$ 的斜边 $A B = \sqrt{2}, M, N$ 分别为 $A C, A B$ 上的动点，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 折起，使点 $A$ 到达点 $A^{'}$ 的位置，且平面 $A^{'} M N ⊥$ 平面 $B C M N$ .若点 $A^{'}, B, C, M, N$ 均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 表面积的最小值为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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2、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过 $A B$ 作一垂直于 $B_{1} C$ 的平面交平面 $A D D_{1} A_{1}$ 于直线 $l$ ，动点 $M$ 在直线 $l$ 上，则直线 $B M$ 与 $C D_{1}$ 所成角余弦值的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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3、若方程 $x^{2} + y^{2} + 2 k x - 4 y + k^{2} + k - 2 = 0$ 表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- 6, + \infty)$ B、 $[- 6, + \infty)$ C、 $(- \infty, 6]$ D、 $(- \infty, 6)$

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4、已知 $E, F$ 分别是空间四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 的中点，点 $G$ 是线段 $E F$ 的中点， $P$ 为空间中任意一点，则 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} =$ （）

A、 $\vec{P G}$ B、 $2 \vec{P G}$ C、 $3 \vec{P G}$ D、 $4 \vec{P G}$

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5、抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(0, - \frac{1}{16})$ D、 $(0, \frac{1}{16})$

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6、直线 $l$ 经过 $A (4, 2 \sqrt{3}), B (3, \sqrt{3})$ 两点，则 $l$ 的倾斜角是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7、已知 $θ > 0$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，总存在实数 $φ$ ，使得 $c o s (n θ + φ) < \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $θ$ 的最小值是.

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8、质点 $P$ 和 $Q$ 同时出发，在以原点 $O$ 为圆心，半径为 $1$ 的 $⊙ O$ 上逆时针作匀速圆周运动. $P$ 的角速度大小为 $2 r a d / s$ ，起点为 $⊙ O$ 与 $x$ 轴正半轴的交点； $Q$ 的角速度大小为 $5 r a d / s$ ，起点为射线 $y = - x (x \geq 0)$ 与 $⊙ O$ 的交点.则当 $Q$ 与 $P$ 重合时， $P$ 的坐标可以为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(0, - 1)$

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9、在矩形ABCD中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 1$ ，点E在CD上，现将 $△ A E D$ 沿AE折起，使面 $A E D ⊥$ 面ABC ，当E从D运动到C ，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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10、已知圆锥的顶点为 $P$ ，底面圆 $O$ 的直径 $A B$ 的长度为4，母线长为 $l$ .

(1)、如图1所示，若 $l = \sqrt{6}, C$ 为圆 $O$ 上异于点 $A$ 的任意一点，当三角形 $P A C$ 的面积达到最大时，求二面角 $C - P A - B$ 的大小；

(2)、如图2所示，若 $l = 6$ ，点 $G$ 在线段 $P A$ 上，一只蚂蚁从点 $A$ 出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达 $G$ 点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段 $P G$ 的长度.（上坡表示距离顶点 $P$ 越来越近）

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11、如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段 $C E, D F$ 与分别以 $O C, O D$ 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点 $C, D$ 是线段 $A B$ 上的动点，点O为线段 $A B, C D$ 的中点，点 $E, F$ 在以 $A B$ 为直径的半圆弧上，且 $∠ O C E,$ $∠ O D F$ 均为直角.若 $A B = 1$ 百米，则此步道的最大长度为百米.

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ .

(1)、求 $s i n (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $s i n (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $c o s β$ 的值.

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13、如图所示，角 $α$ 的终边与单位圆 $O$ 交于点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，将 $O P$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后与圆 $O$ 交于点 $Q$ .

(1)、求 $y_{Q}$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = 2$ ， $s i n A = | y_{Q} |$ ，求 $S_{△ A B C}$ .

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14、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，角 $α$ 以Ox为始边，且 $s i n α = \frac{2}{3}$ ．把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 弧度，这时终边对应的角是 $β$ ，则 $c o s β =$ ；

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15、已知 $θ$ 为锐角，满足 $s i n^{2} θ + s i n θ c o s θ - 3 c o s^{2} θ = \frac{3}{5}$ ，则 $t a n θ =$ ．

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16、下列命题为真命题的是（）

A、函数 $y = t a n x$ 在定义域内是单调增函数 B、函数 $f (x) = 4 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的表达式可以改写为 $f (x) = 4 c o s (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = s i n | x |$ 是最小正周期为 $π$ 的偶函数 D、若一扇形弧长为 $2$ ，圆心角为 $9 0^{∘}$ ，则该扇形的面积为 $\frac{4}{π}$

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17、已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{π}{2}$ 的扇形，则该圆锥的母线长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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18、已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (c o s \frac{π}{3}, s i n \frac{π}{3})$ ，则 $c o s (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、已知角 $α$ 第二象限角，且 $| c o s \frac{α}{2} | = c o s \frac{α}{2}$ ，则角 $\frac{α}{2}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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20、已知 $\frac{3 π}{2} < θ < 2 π$ ，则 $\sqrt{1 + s i n θ} - \sqrt{1 - s i n θ} =$ .

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