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1、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上单调递增

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 2)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{x} (- x + 2)$ C、 $f (x) > 0$ 的解集是 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ 都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < 3$

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3、已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 4 x$ ， $C_{2} : y^{2} = 8 x$ 的焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若 $P$ 、 $Q$ 分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上的点，且线段 $P Q$ 平行于 $x$ 轴，则下列结论错误的是（）

A、当 $| P Q | = \frac{1}{2}$ 时， $△ F_{1} P Q$ 是直角三角形 B、当 $| P Q | = \frac{4}{3}$ 时， $△ F_{2} P Q$ 是等腰三角形 C、存在四边形 $F_{1} F_{2} P Q$ 是菱形 D、存在四边形 $F_{1} F_{2} P Q$ 是矩形

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4、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A E}$ ，若 $\vec{A F} = m \vec{A B} + n \vec{A D}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、1

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5、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{6} + y^{2} = 1$ 与双曲线 $F : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的焦点重合，则双曲线 $F$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$

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6、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{- 1} (x < 0) \\ \sin π x (x \geq 0) \end{array}$ ，则 $f (f (- 3)) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7、已知复数 $z$ 满足 $| z - i | = 2$ ，则复数 $z$ 在复平面上对应的点的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、抛物线

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8、已知 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = \{x | \log_{2} x < 1\}$ ， $M = A \cap B$ .则 $M$ 是（）

A、 ${x | x < 2}$ B、 ${x | - 2 < x < 2}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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9、桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”．
抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有 $n + 1$ 个元素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素．
应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合 $A = {α | α = (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}), t_{k} \in {0, 1}, k = 1, 2, \dots, n}$ .对于集合A中的任意元素 $α = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 和 $β = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，记 $M (α, β) = \frac{1}{2} [(x_{1} + y_{1} + |x_{1} - y_{1}|) + (x_{2} + y_{2} + |x_{2} - y_{2}|) + \dots + (x_{n} + y_{n} + |x_{n} - y_{n}|)]$ .

(1)、当 $n = 3$ 时，岩 $α = (0, 1, 1)$ ， $β = (0, 0, 1)$ ，求 $M (α, α)$ 和 $M (α, β)$ 的值；

(2)、当 $n = 4$ 时，对于A中的任意两个不同的元素 $α$ ， $β$ ，证明： $M (α, β) \leq M (α, α) + M (β, β)$ .

(3)、给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素 $α$ ， $β$ ， $M (α, β) = M (α, α) + M (β, β)$ .写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由.

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10、已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，在空间任取一点 $O$ ，作 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $∠ A O B$ 叫做向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角，记作 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ .定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”为： $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，它与向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都垂直，它的模 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ .如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $D P = D A = 4$ ， $E$ 为 $A D$ 上一点， $|\vec{A D} \times \vec{B P}| = 8 \sqrt{5}$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、若 $E$ 为 $A D$ 的中点，求二面角 $P - E B - A$ 的余弦值；

(3)、若 $M$ 为 $P B$ 上一点，且满足 $\vec{A D} \times \vec{B P} = λ \vec{E M}$ ，求 $|λ|$ .

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11、已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}, g (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2}$ .

(1)、求曲线 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、已知实数 $a > 0$ ，设 $h (x) = a f (x) - g (x)$ .
（i）若 $a = 3$ ，求 $h (x)$ 的极值；
（ii）若 $h (x)$ 有3个零点，求 $a$ 的值.

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12、随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取.

(1)、求第二天获得优惠金额的数学期望；

(2)、记“第 $i$ 天抽取1张奖券”的概率为 $P_{i}$ ，写出 $P_{i}$ 与 $P_{i + 1}$ 的关系式并求出 $P_{i}$ .

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13、已知圆 $C$ ： ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 和点 $A (1, 0)$ ， $P$ 为圆 $C$ 外一点，直线 $P Q$ 与圆 $C$ 相切于点 $Q$ ， $P Q = \sqrt{2} P A$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、记（1）中的点 $P$ 的轨迹为 $T$ ，是否存在斜率为 $- 1$ 的直线 $l$ ，使以 $l$ 被曲线 $T$ 截得得弦 $M N$ 为直径得圆过点 $B (- 2, 0)$ ？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.

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14、设函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - c^{x}$ ，其中 $a, b, c$ 是 $△ A B C$ 的三条边长，且有 $c > a, c > b$ ．给出下列四个结论：
①若 $a = b$ ，则 $f (x)$ 的零点均大于1；
②若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，则对任意 $x \in (0, + \infty), a^{x}, b^{x}, c^{x}$ 都能构成一个三角形的三条边长；
③对任意 $x \in (- \infty, 1], f (x) > 0$ ；
④若 $△ A B C$ 为直角三角形，则对任意 $n \in N^{*}, f (2 n) ⩽ 0$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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15、曲线 $y = |\ln x|$ 在 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点处的切线分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} =$ ；若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交点的横坐标为 $x_{3}$ ，则 $x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} =$ ．

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16、曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{4}}{a^{4}} + \frac{y^{4}}{b^{4}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，下列对曲线 $C$ 的描述正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于原点对称 B、曲线 $C$ 与椭圆 $C^{'} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 无公共点 C、曲线 $C$ 所围成的封闭图形的面积大于椭圆 $C^{'} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 围成的封闭图形的面积 D、曲线 $C$ 上的点到原点距离的最大值为 $a$

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17、已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，是函数 $f (x) = \tan (ω x + φ) (ω > 0, - π < φ < π)$ 的两个零点，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则 $φ$ 的可能值为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $- \frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{8}$

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18、正整数 $a, b, c \in \{1, 2, \dots, 100\}$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ ， $a > b > c$ ，满足这样条件的 $(a, b, c)$ 的组数为（）．

A、60 B、90 C、75 D、86

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19、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c = 2$ ， $\frac{\sin C}{\cos C} = \frac{\sin A}{2 - \cos A}$ ， M和N分别是 $△ A B C$ 的重心和内心，且 $M N / / B C$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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20、设 $△ A B C$ 的三个顶点为复平面上的三点 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ，满足 $z_{1} z_{2} z_{3} = 0$ ， $z_{1} + z_{2} + z_{3} = 8 + 2 i$ ， $z_{1} z_{2} + z_{2} z_{3} + z_{1} z_{3} = 15 + 10 i$ ，则 $△ A B C$ 内心的复数坐标 $z$ 的虚部所在区间是（）.

A、 $(0.5, 1)$ B、 $(0, 0.5)$ C、 $(1, 2)$ D、前三个选项都不对

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