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1、对 $\forall x \in [1, + \infty ）$ ，不等式 $({(ln a x)}^{2} - 1) (e^{x} - b) \geq 0$ 恒成立，则（）

A、若 $a \in (0, \frac{1}{e})$ ，则 $b \leq e$ B、若 $a \in (0, \frac{1}{e})$ ，则 $b > e$ C、若 $a \in [\frac{1}{e}, e)$ ，则 $a^{b} = e^{e}$ D、若 $a \in [\frac{1}{e}, e)$ ，则 $b^{a} = e^{e}$

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2、已知 $\frac{1}{sin 10^{\circ}} - \frac{λ}{cos 10^{\circ}} = 4$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3、设 $f (x) = e^{x} + ln x$ ，满足 $f (a) f (b) f (c) < 0 (0 < a < b < c)$ .若函数 $f (x)$ 存在零点 $x_{0}$ ，则（）

A、 $x_{0} < a$ B、 $x_{0} > a$ C、 $x_{0} < c$ D、 $x_{0} > c$

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1), \vec{b} = (2, 1)$ ，若 $(t \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (- 2 \vec{a} + t \vec{b})$ ，则 $t =$ （）

A、1或 $\frac{1}{2}$ B、 $- 2$ 或 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ 或2 D、 $- 2$ 或1

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5、将函数 $y = sin x$ 的图像向左平移 $φ (0 < φ < 2 π)$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，则" $y = g (x)$ 是偶函数"是" $φ = \frac{π}{2}$ "的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知直线 $y = 2 x$ 是双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线，则 $C$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $\sqrt{5}$

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7、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, x \geq 0 \\ - x - 1, x < 0 \end{array}$ 是（）

A、奇函数 B、偶函数 C、既非奇函数也非偶函数 D、既是奇函数也是偶函数

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8、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |y = \sqrt{1 - x^{2}}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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9、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，侧面 $Δ P A D$ 是边长为2的正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $A D ⊥ B P$ ；

(2)、若点 $Q$ 为棱 $P C$ 上的动点，求平面 $A B Q$ 与平面 $P B C$ 夹角的正弦值的最小值.

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $Q$ 为 $C$ 上一点且纵坐标为4， $Q P ⊥ y$ 轴于点 $P$ ，且 $|Q P| = \frac{1}{2} |Q F|$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、已知点 $M (\frac{1}{2}, - 2)$ ， $A, B$ 是抛物线 $C$ 上不同的两点，且满足 $k_{A M} + k_{B M} = - \frac{8}{5}$ .证明：直线 $A B$ 恒过定点 $(- 2, - 3)$ .

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11、如图，在三棱锥 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ BAC = 90^{\circ} ， AB = AC = 2, A A_{1} = 4, A_{1}$ 在底面ABC的射影为BC的中点，D为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.
（1）证明： $A_{1} D ⊥ 平面 A_{1} BC$ ；
（2）求直线 $A_{1} B$ 和平面 $B B_{1} C C_{1}$ 所成的角的正弦值.

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12、已知圆 $C$ 过点 $A (4, 2)$ 和点 $B (1, 3)$ ，圆心在直线 $y = x - 1$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程，并写出圆心坐标和半径的值；

(2)、若直线 $l$ 经过点 $P (1, - 1)$ ，且 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为4，求直线 $l$ 的方程.

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = 2$ .

(1)、若 $a_{3} + b_{3} = 3$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{3} = 21$ ，求 $S_{3}$ .

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14、正三棱锥 $S - A B C$ ， $S A = 2 A B = 4$ ，点 $P$ 为侧棱 $S A$ 的中点， $M, N$ 分别是线段 $S B, A B$ 上的动点，则 $2 P M + M N$ 的最小值为.

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 x$ 和圆 $M : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 $a =$ .

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16、设两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{7 n}{9 n + 4}$ ，则 $\frac{a_{3}}{b_{3}} =$ .

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17、如图，直平面六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长都为2， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 是四边形 $C C_{1} D_{1} D$ （包括边界）内，则下列结论正确的是（）

A、过点 $A_{1}, B, P$ 的截面是直角梯形 B、若直线 $A Q //$ 面 $A_{1} B P$ ，则直线 $A Q$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ C、存在点 $Q$ 使得直线 $B_{1} Q ⊥$ 面 $A_{1} B P$ D、点 $Q$ 到面 $A_{1} B P$ 的距离的最大值为 $\frac{3 \sqrt{30}}{10}$

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18、两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α．当 $θ < α < \frac{π}{2}$ 时，截口曲线为椭圆；当 $α = θ$ 时，截口曲线为抛物线；当 $0 < α < θ$ 时，截口曲线为双曲线．在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（）

A、若点P到直线 $C C_{1}$ 的距离与点P到平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的距离相等，则点P的轨迹为抛物线 B、若点P到直线 $C C_{1}$ 的距离与点P到 $A A_{1}$ 的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆 C、若 $∠ B D_{1} P = 45 °$ ，则点P的轨迹为抛物线 D、若 $∠ B D_{1} P = 60 °$ ，则点P的轨迹为双曲线

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19、对于两条不同直线 $m, n$ 和两个不同平面 $α, β$ ，下列选项正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m // α, n // β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ 或 $m // n$ C、若 $m // α, α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ 或 $m \subset β$ D、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n // α$ 或 $n \subset α$

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20、设椭圆 $C$ 的两个焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 交于点 $P, Q$ ，若 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，且 $3 |P F_{1}| = 4 |Q F_{1}|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{7}$

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