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1、某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（）

A、192种 B、252种 C、268种 D、360种

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2、已知直线 $l_{1}$ ： $m x + y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $3 m x + (m - 2) y + m = 0$ ，则“ $m = 5$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（）

A、18 B、21 C、54 D、63

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4、若随机变量 $X \sim N (6, 1)$ ，且 $P (5 < X \leq 7) = a$ ， $P (4 < X \leq 8) = b$ ，则 $P (4 < X \leq 7)$ 等于（）

A、 $\frac{b - a}{2}$ B、 $\frac{b + a}{2}$ C、 $\frac{1 - b}{2}$ D、 $\frac{1 - a}{2}$

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5、某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的 $15$ 位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第 $k$ 条切痕看作直线 $l_{k}$ ，设切 $n$ 下，最多能切出的块数为 $b_{n}$ ，如图易知 $b_{1} = 2$ ， $b_{2} = 4$ .

(1)、试写出 $b_{3}$ ， $b_{4}$ ，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的 $15$ 位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下；

(2)、这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切 $n$ 下能划分成 $n + 1$ 段，由此求出数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切 $n$ 下，最多能切出的块数为 $c_{n}$ ，求出 ${c_{n}}$ 的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给 $15$ 个人.（已知 $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ）

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6、学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有 $15$ 个台阶，从下至上记台阶所在位置为 $1 - 15$ ，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨 $1$ 或 $2$ 个台阶（位置 $+ 1$ 或 $+ 2$ ）.

(1)、记甲迈 $3$ 步后所在的位置为 $X$ ，写出 $X$ 的分布列和期望值.

(2)、求甲 $6$ 步内到过位置 $8$ 的概率；

(3)、求 $10$ 步之内同时到过位置 $10$ 和 $12$ 的有多少种走法，及发生的概率.

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7、如图，已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $D$ 是负半轴上的一点， $| D O | = 2$ ，过点 $D$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于点 $A$ 与点 $B$ .

(1)、求 $△ A B F_{1}$ 面积的最大值；

(2)、设直线 $P A$ 的斜率为 $k_{1}$ 和直线 $P B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，椭圆 $E$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值，若存在，求出点 $P$ 与 $k_{1} \cdot k_{2}$ 值，若不存在，请说明理由.

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8、已知函数 $f (x) = \sin x - a \ln (b + x)$

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = π$ 处的切线方程为 $2 x + y + 2 π (\ln 2 π - 1) = 0$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若 $b = 1$ 时，在 $(- 1, \frac{π}{2}]$ 上 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

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9、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C$ ，侧面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $B C$ 和 $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = B C = A B$ ，且平面 $A B C ⊥$ 平面 $A E F$ ，求二面角 $B - A C - C_{1}$ 的余弦值大小.

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10、已知由系列圆构成的点集为 $C = {(x, y) | {(x - \cos θ)}^{2} + {(y - \sin θ)}^{2} = 4, 0 \leq θ \leq φ}$ ，图形如图中的阴影部分所示，将平面剩余部分分为内外两部分（空白区域），给出以下命题：
①图形内部空白区域的面积最小值为 $π$
②图形到原点的最小距离为 $1$
③ $φ = \frac{π}{2}$ 时，图形关于直线 $y = x$ 对称
④ $φ = \frac{π}{2}$ 时，图形内外边界的长度和为 $6 π$
其中正确的有.

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11、函数 $f (x) = \sqrt{6} \sin 2 x + 2 \sin x$ 的值域为．

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12、已知三角形 $A B C$ 中， $E$ ， $F$ 是 $A C$ 上中线 $B D$ 的三等分点满足 $D E = E F = F B$ ，记 $\vec{D F} = x \vec{A B} + y \vec{C E}$ ，则 $x + y =$ .

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13、 $\forall x$ ， $y \in R$ ，非常数函数 $f (x)$ 都有 $f (x + y) + f (x) f (y) = f (x y + 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = - 1$ B、若 $f (2) \neq 1$ ， $f (x)$ 是偶函数 C、若 $f (2) = f (- 2) = 1$ ，则 $f (2 k + 1) = 0 (k \in Z)$ D、 $f (2)$ 的值不可能是 $3$

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14、按指对数运算律定义两个函数 $f (x) = x^{x} (x \in R^{+})$ 与 $g (x) = \log_{x} 2 x (x \in (1, + \infty))$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在定义域上单调递增 B、 $g (x)$ 在定义域上单调递减 C、 $\frac{3}{5} < f {(x)}_{\min} < \frac{4}{5}$ D、若存在 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > \frac{2}{e}$

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15、已知一组样本数据： $- 1, 5, a, b$ .其中 $a \leq 0$ ， $b \geq 0$ ，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（）

A、序列不可能既是等比数列又是等差数列 B、若成等比数列， $a$ 和 $b$ 有 $3$ 组可能取值 C、若成等差数列， $a$ 和 $b$ 有 $3$ 组可能取值 D、若该数据平均数是 $1$ ，则方差最小值为 $\frac{21}{4}$

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16、平面直角坐标系 $x O y$ 中，若过点 $A_{k} (\frac{k π}{2}, 0)$ ， $k \in Z$ 作斜率不为0的直线 $l_{k}$ ，使得 $l_{k}$ 与正弦曲线 $y = \sin x$ 的交点中，存在点 $P_{k}$ ， $Q_{k}$ 满足 $P_{k}$ 是线段 $A_{k} Q_{k}$ 的中点，则称 $l_{k}$ 是曲线 $y = \sin x$ 的“平均割线”， $P_{k}$ 为“平衡点”，则对任何一个整数 $k$ ，下列描述正确的是（）

A、 $k$ 为偶数时，存在“平均割线” B、若存在“平均割线” $l_{k}$ ，则 $l_{k}$ 唯一 C、若存在“平均割线” $l_{k}$ ，则所有“平衡点”共线 D、若存在“平均割线” $l_{k}$ ，则所有“平衡点” $P_{k, j} (x_{k, j}, y_{k, j})$ ， $j \in N^{+}$ 中间隔相等， ${x_{k, j}}$ 按从小到大顺序排列成等差数列

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，两焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交右支于 $A$ ， $B$ 点，且 $\vec{A B} = \frac{5}{3} \vec{A F_{2}}$ ，若 $∠ F_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $2$

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18、某城市随机选取 $n$ 个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于 $50 %$ ，则至少需要选取（）个人.

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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19、 ${(x^{2} - \frac{1}{x} + y)}^{6}$ 的展开式中 $x y$ 的系数为（）

A、 $30$ B、 $- 30$ C、 $60$ D、 $- 60$

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20、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin (α + β) = \frac{5}{6}$ ， $\tan α = 4 \tan β$ ，则 $α - β =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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