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1、已知 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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2、直径为2的球的体积是.

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3、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 a sin B = \sqrt{2} b$ ，则 $A$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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4、下列几何体中，是棱柱有（）

A、 B、 C、 D、

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5、下列复数是纯虚数的为（）

A、 $2 + \sqrt{7}$ B、 $\frac{2}{7} i$ C、 $8 + 5 i$ D、 $(1 - \sqrt{3}) i$

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6、学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为（）

A、12 m B、8 m C、2 $\sqrt{3}$ m D、4 $\sqrt{3}$ m

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7、 $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{A D}$ 等于（）

A、 $\vec{D C}$ B、 $\vec{D B}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{A B}$

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8、在 $△ A B C$ 中，下列各式是余弦定理的为

A、 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ B、 $c^{2} = a^{2} - b^{2} - 2 b c \cos A$ C、 $b^{2} = a^{2} - c^{2} - 2 b c \cos A$ D、 $\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 a b}$

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9、利用斜二测画法画出边长为 $3 cm$ 的正方形的直观图，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、若圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为1，则圆锥的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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11、复数 $z = - 2 + 3 i$ 在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(3, 2)$ D、 $(3, - 2)$

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12、对于定义域为R的函数 $y = g (x)$ ，若存在常数 $T > 0$ ，使得 $y = sin (g (x))$ 是以 $T$ 为周期的周期函数，则称 $y = g (x)$ 为“正弦周期函数”，且称 $T$ 为其“正弦周期”.

(1)、判断函数 $y = x + cos \frac{x}{2}$ 是否为“正弦周期函数”，并说明理由；

(2)、已知 $y = g (x)$ 是定义在R上的严格增函数，值域为R，且 $y = g (x)$ 是以 $T$ 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若 $g (0) = \frac{π}{2}, g (T) = \frac{9π}{2}$ ，且存在 $x_{0} \in (0, T)$ ，使得 $g (x_{0}) = \frac{5 π}{2}$ ，求 $g (2 T)$ 的值；

(3)、已知 $y = h (x)$ 是以 $T$ 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在 $a > 0$ 和 $A > 0$ ，使得对任意 $x \in R$ ，都有 $h (x + a) = A h (x)$ ，证明： $y = h (x)$ 是周期函数.

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13、如图所示，已知 $|\vec{O A}| = 3, |\vec{O B}| = 5$ ， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，点 $C$ 是 $△ A B O$ 的外接圆优弧 $A B$ 上的一个动点（含端点 $A, B$ ），记 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为 $θ$ ，并设 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，其中 $x, y$ 为实数．

(1)、求 $△ A B O$ 外接圆的直径；

(2)、试将 $|\vec{O C}|$ 表示为 $θ$ 的函数 $y = f (θ)$ ，并指出该函数的定义域；

(3)、求 $O C$ 为直径时， $x + y$ 的值．

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14、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度为 $\frac{5}{2}$ 米．设筒车上的桨个盛水简 $P$ 到水面的距离为 $y$ （单位：米）（在水面下则 $y$ 为负数）．若以盛水简 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间，则 $y$ 与时少 $t$ （单位：秒）之少的关系为 $y = A sin (ω t + φ) + K$ ，其中 $A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $A, ω, φ, K$ 的值；

(2)、当 $t \in (40, 50)$ 时，判断盛水筒 $P$ 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．

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15、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} sin 2 x - 2,cos x), \vec{b} = (1, 2 cos x)$ ．设 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，直接写出函数 $y = g (x)$ 的表达式；

(3)、求关于 $x$ 的方程 $f (x) + 2 = 0$ 在区间 $[0, π]$ 上的解集．

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16、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = - 5$ .

(1)、若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 垂直，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - k \vec{b}$ 方向相反，求实数 $k$ 的值.

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17、对于实数 $x$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[- 2.1] = - 3, [2.1] = 2$ .已知 $f (x) = sin |x| + |sin x|$ ， $g (x) = [f (x)]$ ，则下列3个命题4，真命题的个数为（）
（1）函数 $y = g (x)$ 是周期函数；（2）函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称；（3）方程 $f (x) \cdot g (x) = x$ 有2个实数根.

A、0 B、1 C、2 D、3

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18、设 $n$ 是正整数，集合 $A = \{x | x = cos \frac{2 k π}{n}, k \in Z\}$ ．当 $n = 2024$ 时，集合 $A$ 元素的个数为（）

A、1012 B、1013 C、2023 D、2024

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，若满足条件的三角形有且只有两个，则角 $A$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{π}{3})$ B、 $(0, \frac{π}{6})$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ D、 $(0, \frac{π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, π)$

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20、下列说法错误的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是非零向量且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或者相反 D、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

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