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1、（1）若 $x \in R$ ，试比较 $3 x^{2} + 6 x$ 与 $4 x^{2} - 2 x + 16$ 的大小；
（2）已知 $1 \leq a + b \leq 4$ ， $- 1 \leq a - b \leq 2$ ，求 $4 a - 2 b$ 的取值范围.

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2、设集合 $U = \{x |x \leq 5\} ， A = \{x |1 \leq x \leq 5\} ， B = \{x |- 1 \leq x < 4\}$ .求：

(1)、 $A \cap B, ∁_{U} A, ∁_{U} B$ ；

(2)、 $(∁_{U} A) \cup B, (∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ ．

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 9, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{cases}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数a的取值范围为.

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4、设 $x \in [- 2, 3]$ ，则函数 $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ 的值域是.

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5、已知集合 $P = \{1, a\}, Q = \{- 1, b\}$ ，且 $P = Q$ ，则 $a + b =$ .

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6、实数 $a, b, c, d$ 满足： $a > b > 0 > c > d$ ，则下列不等式不成立的是（）

A、 $c^{2} < c d$ B、 $a d < b c$ C、 $a - c < b - d$ D、 $\frac{c}{a} > \frac{d}{b}$

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7、已知函数 $f (x) = \sqrt{(2 m + 3) x^{2} + 2 m x + 1}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2}, 3]$ B、 $[- 1, 3]$ C、 $[- \frac{3}{2}, 1] \cup (3, + \infty)$ D、 $[- \infty, - 1]\cup[3, + \infty)$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x + 1, x \leq 0 \\ \frac{1}{x} - 10, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (\frac{1}{10})) =$ （）

A、0 B、1 C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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9、函数 $y = \sqrt{x + 4} + \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $[- 4, + \infty)$ B、 $(- 4, + \infty)$ C、 $[- 4, 0) \cup (0, + \infty)$ D、 $[- 4, 1) \cup (1, + \infty)$

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10、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的函数是（　　）

A、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = x$ D、 $y = \sqrt[3]{x}$

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11、已知 $x > - 1$ ，则 $4 x + \frac{1}{x + 1}$ 的最小值为（）

A、 $- 4$ B、0 C、4 D、8

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12、命题“ $\exists x \in (0, + \infty)$ ，使 $\sqrt{x^{2} + 4} \geq 6$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ，使 $\sqrt{x^{2} + 4} \leq 6$ B、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，有 $\sqrt{x^{2} + 4} \leq 6$ C、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ，使 $\sqrt{x^{2} + 4} < 6$ D、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，有 $\sqrt{x^{2} + 4} < 6$

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13、已知集合 $A = \{y| - 3 \leq y \leq 3\}$ ， $B = \{x| x \geq - 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 3, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- 3, 3]$ D、 $[- 3, 3]$

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14、为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出 $3$ 道题，编号为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ， $T_{3}$ ，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得 $5$ 分，每答错一道题目扣 $3$ 分；
②选手若答对第 $T_{i}$ 题，则继续作答第 $T_{i + 1}$ 题；选手若答错第 $T_{i}$ 题，则失去第 $T_{i + 1}$ 题的答题机会，从第 $T_{i + 2}$ 题开始继续答题；直到 $3$ 道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为 $0$ 分，若挑战结束后，累计得分不低于 $7$ 分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对 $2$ 道题的概率 $P_{1}$ ；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了 $2$ 道题的概率 $P_{2}$ ；
（3）选手甲闯关成功的概率 $P_{3}$ ．

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15、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $M$ 为棱 $A_{1} D_{1}$ 上一点．

(1)、求证： $A B_{1} ⊥ B M$ ；

(2)、若 $M$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点，求点 $A_{1}$ 到平面 $B D M$ 的距离；

(3)、在棱 $A_{1} D_{1}$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D M$ ，若存在，指出点 $M$ 的位置，若不存在，说明理由．

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16、2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．

(1)、写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；

(2)、求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．

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17、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ．点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 2$ ， $C C_{2} = 3$ ．

(1)、证明： $B_{2} C_{2} ∥ A_{2} D_{2}$ ；

(2)、点 $P$ 在线段 $B_{1} B_{2}$ 上，当 $B_{2} P = 1$ 时，求平面 $P A_{2} C_{2}$ 与平面 $D_{2} A_{2} C_{2}$ 的夹角的余弦值．

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18、已知： $\vec{a} = (x, 4, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, y, - 1)$ ， $\vec{c} = (3, - 2, z)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，求：

(1)、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ；

(2)、 $cos ⟨\vec{a} + \vec{c}, \vec{b} + \vec{c}⟩$

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19、如图，两条异面直线 $a$ ， $b$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，在直线 $a$ ， $b$ 上分别取点 $A^{'}$ ， $E$ 和 $A$ ， $F$ ，使 $A A^{'} ⊥ a$ ，且 $A A^{'} ⊥ b$ ．已知 $A F = 2$ ， $A^{'} E = 1$ ， $E F = 3$ ，则公垂线段 $A A^{'}$ 的长为．

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20、设事件 $A$ 与 $B$ 相互独立， $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.9$ ，则 $P (A B) =$ ， $P (A \cup B) =$ ．

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