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1、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - a$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合.

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2、如图，在四棱锥 $V - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ ， $△ V B C$ 为等边三角形．

(1)、求证： $B C ⊥ V D$ ；

(2)、若二面角 $A - B C - V$ 的大小为 $60^{°}$ ，求直线 $V A$ 与平面 $V B C$ 所成角的正弦值．

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3、设 ${a_{n}}$ 是公比不为1的等比数列， $a_{1}$ 为 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的等差中项．
（1）求 ${a_{n}}$ 的公比；
（2）若 $a_{1} = 1$ ，求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x, P$ 为 $C$ 上一点， $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，当 $|\frac{P B}{P A}|$ 最小时，点 $P$ 到坐标原点的距离为.

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5、函数 $f (x) = x + \frac{2}{x} - \ln x$ 的单调递增区间是．

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6、已知 $P (B| A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B A) = \frac{3}{8}$ ，则 $P (A)$ 的值为．

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7、已知 ${(2 - x)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 2^{8}$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{8} = 1$ C、 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \dots + |a_{8}| = 3^{8}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 8 a_{8} = - 8$

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8、某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）

A、若任意选择三门课程，选法总数为 $A_{7}^{3}$ B、若物理和化学至少选一门，选法总数为 $C_{2}^{1} C_{6}^{2}$ C、若物理和历史不能同时选，选法总数为 $C_{7}^{3}$ － $C_{5}^{1}$ D、若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 $C_{2}^{1} C_{5}^{2} C_{5}^{1}$

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9、已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x - 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极小值 B、 $f (x)$ 有3个零点 C、 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 2)$ 上的值域为 $(- 3, 1)$ D、曲线 $y = f (x)$ 的对称中心为 $(0, - 1)$

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10、已知空间中的两条直线 $m ， n$ 和两个平面 $α, β, m \subset α, n \subset β$ ，则（）

A、若 $m / / n$ ，则 $α, B$ 没有公共点 B、若 $α / / β$ ，则 $m, n$ 没有公共点 C、若 $m ⊥ n$ ，则 $α, β$ 可能互相平行 D、若 $α ⊥ β$ ，则 $m, n$ 可能互相平行

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11、已知 $a = e^{- \frac{7}{8}}$ ， $b = \ln \frac{9}{8}$ ， $c = \frac{1}{8}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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12、已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、6 B、12 C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{9} = 8$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、24 B、36 C、48 D、96

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14、已知 $\overset{⃑}{a}$ =(cos α，sin α)， $\overset{⃑}{b}$ =(cos β，sin β)，且 $| k \vec{a} + \overset{⃑}{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} - k \vec{b} | (k > 0)$ .
(1)用k表示数量积 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ；
(2)求 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ 的最小值，并求此时 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 的夹角θ.

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15、如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线 $O A, O B$ 为海岸线， $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个 $△ P O Q$ 的养殖场

(1)、已知 $∠ P Q O = \frac{π}{4}$ ，求 $O P$ 的长度

(2)、问如何选取点 $P, Q$ ，才能使得养殖场 $△ P O Q$ 的面积最大，并求其最大面积

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16、已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体 $S - A B C$ 如图所示，求它的表面积.

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17、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $c ＝ 10 ， A ＝ 45 ° ， C ＝ 30 °$ ，求 $a ， b$ 和 $B$ .

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18、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ ， $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，求：

(1)、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ .

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19、计算：

(1)、 $(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ ；

(2)、 $\frac{1 + 2 i}{3 - 4 i}$ .

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20、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $C = 30^{\circ}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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