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1、已知直线 $l$ 经过点 $P (2, 4)$ 和 $Q (- 1, - 2)$ ，且方向向量 $\vec{v} = (1, k)$ ，则 $k$ 的值为．

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2、（多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 是共线向量 B、与 $\vec{A B}$ 同向的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{B C}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量是 $(- 2, - 1, 0)$ D、平面ABC的一个法向量是 $(1, - 2, 5)$

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3、设样本空间 $Ω = \{a, b, c, d\}$ 含有等可能的样本点，且 $A = \{a, b\}$ ， $B = \{a, c\}$ ， $C = \{a, d\}$ ．则下列结论正确的有（）

A、 $P (A B) = P (A) P (B)$ B、 $P (A C) = P (A) P (C)$ C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、 $P (B C) = P (B) P (C)$

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4、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不可能共面 B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、对空间任一向量 $\vec{p}$ ，总存在有序实数组 $(x, y, z)$ ，使 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c} + \vec{a}$ 一定能构成空间的一个基底

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5、将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、乙与丙相互独立 D、丙与丁相互独立

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6、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $C C_{1} = 2$ ， $M$ 在 $A B$ 上．以 $D$ 为原点， $D A$ ， $D C$ ， $D D_{1}$ 所在直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面 $M C A_{1}$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, 2, 1)$ ，则 $\frac{A M}{M B} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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7、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， $O$ 是 $B D_{1}$ 与 $B_{1} D$ 的交点，以 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则直线 $O A_{1}$ 的一个方向向量为（）

A、 $\frac{1}{2} (- \vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

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8、袋子中有 $5$ 个大小质地完全相同的球，其中 $2$ 个红球、 $3$ 个黄球，从中有放回地依次随机摸出 $2$ 个球，那么这 $2$ 个球同色的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{13}{25}$

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9、已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 2)$ ， $C (5, - 2)$ 三点，则 $△ A B C$ 的 $A B$ 边上的高线所在直线的斜率是（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、3

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10、已知向量 $\vec{a} = (2, - 3, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 0, 3)$ ， $\vec{c} = (0, 0, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot (2 \vec{b} - \vec{c}) =$ （）

A、12 B、-12 C、9 D、-9

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11、经过点 $A (2, 5)$ 和 $B (- 1, m)$ 的直线的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $m =$ （）

A、3.5 B、8 C、-2 D、2

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12、如图，直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了 $40$ 名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了 $6$ 个区间： $(0, 10]$ 、 $(10, 20]$ 、 $(20, 30]$ 、 $(30, 40]$ 、 $(40, 50]$ 、 $(50, 60]$ ，整理得到如下频率分布直方图：

(1)、求图1中 $a$ 的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；

(2)、估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值 $\bar{x_{乙}}$ 及方差 $s_{乙}^{2}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为 $m$ 、 $n$ 的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为： $\bar{x}$ 、 $s_{1}^{2}$ 与 $\bar{y}$ 、 $s_{2}^{2}$ ，记总的样本平均数为 $\bar{w}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，证明：
① $\bar{w} = \frac{m}{m + n} \bar{x} + \frac{n}{m + n} \bar{y}$ ；
② $s^{2} = \frac{1}{m + n} \{m [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{w})}^{2}] + n [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{w})}^{2}]\}$ ．

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14、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记 $C M = B N = a$ $(0 < a < \sqrt{2})$ ．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．

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15、 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (4, 0)$ ， $B (6, 7)$ ， $C (0, 3)$ ，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．

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16、连续抛掷一枚均匀的骰子2次，试求下列事件的概率：

(1)、第一次掷出的点数恰好比第二次的大3；

(2)、第一次掷出的点数比第二次的大；

(3)、2次掷出的点数均为偶数．

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17、已知 $\overset{⃑}{a} = (2, - 1, - 4), \overset{⃑}{b} = (- 1, k, 2)$ .

(1)、若 $(\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}) / / (\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $(\overset{⃑}{a} + 3 \overset{⃑}{b}) ⊥ (\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

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18、如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为 $P (A) = 0.8$ ， $P (B) = P (C) = 0.6$ ，则该电路正常工作的概率.

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19、某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取名.

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20、在空间直角坐标系 $O x y z (O$ 为坐标原点）中，点 $A (4, - 6, - 3)$ 关于 $y$ 轴的对称点为点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标为.

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