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1、中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为 $\frac{2}{3} π$ ，上板长为 $16 cm .$ 若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（）

A、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3} cm$ B、 $10 \sqrt{2} cm$ C、 $10 \sqrt{3} cm$ D、 $\frac{32 \sqrt{2}}{3} cm$

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2、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 边上的点， $\vec{B C} = 4 \vec{E C}$ ，点 $F$ 是线段 $D E$ 的中点，若 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $μ =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、1 C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3、若复数 $z$ 满足 $1 + i z = i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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4、甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是 $\frac{3}{4}$ ，其余4对双打获胜的概率均是 $\frac{1}{2}$ .

(1)、若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率；

(2)、求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率.

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5、6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目．

(1)、6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种?

(2)、若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式?

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6、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点为 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 函数 $f (x)$ 的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数 $g (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 2$ ，利用上述探究结果计算： $g (\frac{1}{2025}) + g (\frac{2}{2025}) + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + g (\frac{4048}{2025}) + g (\frac{4049}{2025}) =$ ；

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7、某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，答对每道不会的题的概率为 $\frac{1}{4}$ ，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为．

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8、如图所示，积木拼盘由 $A, B, C, D, E$ 五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如： $A$ 与 $B$ 为相邻区域， $A$ 与 $D$ 为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是.

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9、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = x^{2} + k x$ （其中 $k \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，设 $a = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ， $b = \frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ，则（）

A、对于任意不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $a > 0$ B、对于任意的 $k$ 及任意不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $b > 0$ C、对于任意的 $k$ ，一定存在不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $\frac{b}{a} = 2$ D、若存在不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $\frac{b}{a} = - 2$ ，则 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 4)$

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10、若 ${(1 - 2 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 1$ B、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} + 6 a_{6} = 12$ C、当 $x = - 4$ 时， ${(1 - 2 x)}^{6}$ 除以8的余数是1 D、展开式中二项式系数最大项为第3项

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11、已知 $f (x) = 3 f (2 - x) + 2 x^{2} - \ln x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $3 x + 2 y - 1 = 0$ B、 $3 x - 4 y + 7 = 0$ C、 $3 x + 2 y + 1 = 0$ D、 $3 x - 4 y - 7 = 0$

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12、今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过 $2^{50}$ 天后是星期（）

A、二 B、三 C、四 D、五

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13、有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（）

A、8 B、144 C、120 D、280

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14、已知函数 $f (x) = cos x - 1$ ，则 $\lim_{t \to 0} \frac{f (π + t) - f (π)}{t} =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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15、设 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .
（I）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（II）设数列 ${S_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，
（i）求 $T_{n}$ ；
（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(T_{k} + b_{k + 2}) b_{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2^{n + 2}}{n + 2} - 2 (n \in N^{*})$ .

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16、数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 5, a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $E, F$ 分别为 $P A, C D$ 的中点．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P B F$ ；

(2)、若 $P A = A B = 1, B C = 2$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P B F$ 所成角的正弦值．

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18、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{3}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4} - 1$ 的等差中项，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ .求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

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19、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n |\cos \frac{n π}{3}|$ ，在 $a_{n}, a_{n + 1}$ 中插入n个2，按照原有顺序构成数列 $\{b_{n}\}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前480项和为．

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20、已知夹角为 $60^{\circ}$ 的非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ， $(2 \vec{a} - t \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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