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1、随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表：

年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
是微短剧消费者
30

45
不是微短剧消费者

合计
100

200

(1)、根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？

(2)、记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据：
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
9.4
36.8
101.7
373.9
m
根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为 $\hat{y} = 132.71 x - 192.85$ ，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ， $x_{0.05} = 3.841$ .
$\sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 442.03$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ . $\sqrt{10} = 3.16$ .
若 $|r| \geq 0.75$ ，则认为经验回归方程有价值.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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2、现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，

(1)、在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率；

(2)、求第二次取到2号球的概率；

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3、已知 ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中的所有系数之和为729．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中 $x^{3}$ 的系数．

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4、2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动．我市某学校的数学老师组织学生到“牛马司农产品基地”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，尹诗老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k $n = 4, k = 2$ ，则 $P =$ ．

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5、甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 $A_{1}, A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以 $B$ 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B ∣ A_{2}) = \frac{3}{11}$ B、 $P (B A_{1}) = \frac{6}{55}$ C、 $P (A_{3} ∣ B) = \frac{4}{11}$ D、 $P (B) = \frac{3}{10}$

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6、高二某班共有20名男生，30名女生，其中男生的平均身高是175cm，女生的平均身高是165cm，男生身高的方差是14，女生身高的方差是4，则下列说法正确的是（）

A、该班50名同学的平均身高是169cm B、50名同学身高的总方差是32 C、某小组共4个女生2个男生，则从中选出2名英语课代表的方法有30种 D、某小组共4个女生2个男生，则从中选出3同学，至少有一位男生的概率是 $\frac{3}{5}$

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7、若 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 2$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 120$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{4} + \frac{a_{3}}{8} + \frac{a_{4}}{16} + \frac{a_{5}}{32} = - 1$

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8、高三某班有 $\frac{1}{4}$ 的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出 $5$ 名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数 $X ~ B (5, \frac{1}{4})$ ，则 $P (ξ = k) = C_{5}^{k} (\frac{1}{4})^{k} (\frac{3}{4})^{5 - k}$ 取最大值时 $k$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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9、数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件 $A =$ “两次掷出的点数之和是6”，事件 $B =$ “第一次掷出的点数是奇数”，事件 $C =$ “两次掷出的点数相同”，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{6}$ B、A与 $B$ 相互独立 C、 $B$ 与 $C$ 相互独立 D、A与 $C$ 相互独立

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10、某水文站为了研究所在河段 $24 h$ 降雨量 $x$ （单位： $cm$ ）与水位增长量 $y$ （单位： $cm$ ）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉 $A$ 点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）

A、决定系数 $R^{2}$ 变小 B、相关系数 $r$ 的值变小 C、残差平方和变小 D、解释变量 $x$ 与预报变量 $y$ 相关性变弱

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11、260班和261班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{2}{7}$

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12、邱老师带着班上同学去野外烧烤，现要将4名学生分配到3个烧烤点，每哥烧烤点至少分配 $1$ 名学生，则不同的分配方案共有（）

A、24种 B、36种 C、48种 D、72种

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13、为了弘扬体育精神，创新学校组织第一届体育节，在一项教师比赛中，方哥进行了8组投篮，得分分别为10，8，6，8，7，9，6，8，那么这组数据的80百分位数为（）

A、8 B、8.5 C、9 D、9.5

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14、已知 ${(1 + 3 x)}^{n}$ 的展开式共有 $9$ 项，则该展开式中二项式系数和为（）

A、 $128$ B、 $256$ C、 $512$ D、 $1024$

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15、设随机变量 $X ~ N (2, σ^{2})$ ， $P (0 < X < 4) = 0.3$ ，则 $P (X < 0) =$ （）

A、0.25 B、0.35 C、0.3 D、0.7

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16、如图是一个小球垒成的正三角形垛示意图，每一层的小球都排成一个正三角形，从下往上第二层起，每一层小球数比下一层小球数少的数量构成等差数列，底层每条边均为 $n$ 个小球 $(n \geq 3, n \in N^{*})$ .从下往上，设第 $k (k \leq n, k \in N *)$ 层的小球个数为 $a_{k}$ ，前 $k$ 层的小球总数为 $S_{k}$ .

(1)、当 $n = 5$ 时，求 $S_{5}$ ；

(2)、求 $a_{k}$ 关于 $n$ 和 $k$ 的表达式；

(3)、对于给定的 $n$ ，若 $S_{n}$ 能分解为两个连续正整数的乘积，求满足条件的 $n$ 的值.
参考公式： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1); 1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = {[\frac{1}{2} n (n + 1)]}^{2}$ .

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17、设抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线被圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 = 0$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，点 $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $△ A B O$ 的面积为 $8 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、在(2)的条件下，若直线 $O A, O B$ 分别与抛物线 $C$ 的准线交于 $D, E$ 两点，求线段 $D E$ 的长度.

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18、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = 3 S_{n} + 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n - \frac{1}{2}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D, E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $A D = 1, C E = 2$ ， $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $C_{1} M / /$ 平面 $B_{1} D E$ ；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，求 $B M$ 与平面 $D B_{1} E$ 的所成角的正弦值.

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 n + 2$ ，若 $a_{k_{1}}, a_{k_{2}}$ ， …， $a_{k_{n}}$ ， …是从 $\{a_{n}\}$ 中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列， $k_{1} = 1, k_{2} = 5$ ，令 $b_{n} = 2 n k_{n} + 2 n$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 为.

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	年龄不超过40岁	年龄超过40岁	合计
是微短剧消费者	30		45
不是微短剧消费者
合计	100		200

年份代码x	1	2	3	4	5
市场规模y	9.4	36.8	101.7	373.9	m

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828