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1、若复数z满足 $2 \bar{z} + i \cdot z = 4 + 5 i$ ，则z在复平面中对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、已知函数 $f (x) = (a x - 1) e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ ，求证：当 $x > - 1$ 时， $f (x) \geq e^{x} \ln (x + 1) - x - 1$ .

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3、某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织 $A$ 、 $B$ 两团体运动员进行比赛.其中 $A$ 团体的运动员3名，其中种子选手2名； $B$ 团体的运动员5名，其中种子选手 $m (1 \leq m \leq 5)$ 名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)、已知 $m = 2$ ，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体 $A$ 的概率；

(2)、已知 $m = 1$ ，设 $X$ 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $X$ 的分布列及其期望.

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4、已知集合 $A = \{y |y = 4 x - 16, x \in [2, 3]\}$ ， $B = \{x |x^{2} + 3 x - a^{2} - 3 a > 0, a > 0\}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若命题“ $x \in A$ ”是命题“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = |x - a| + x + \frac{3}{x} + ||x - a| - x - \frac{3}{x} + 2|$ .若函数 $f (x) \geq 6$ 对一切 $x \in R^{+}$ 均成立，则实数 $a$ 的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = 3 \cdot 2^{x} + 2$ ，对于任意的 $x_{2} \in [0, 1]$ ，都存在 $x_{1} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) + 2 f (x_{2} + m) = 13$ 成立，则实数m的取值范围为．

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7、已知函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x > 1$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ ，则当 $x < 1$ 时的解析式 $f (x) =$ .

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8、信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 $X$ 所有可能的取值为1，2，…，n，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义 $X$ 的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .下列正确的为（）

A、若 $n = 1$ ，则 $H (X) = 0$ B、若 $n = 2$ ，则 $H (X)$ 随着 $p_{1}$ 的增大而增大 C、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则 $H (X)$ 随着 $n$ 的增大而增大 D、若 $n = 2 m$ ，随机变量 $Y$ 所有可能的取值为1，2，…，m，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{2 m + 1 - j} (j = 1, 2, \dots, m)$ ，则 $H (X) \geq H (Y)$

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9、“ $[x]$ ”表示不大于 $x$ 的最大整数，例如： $[3.8] = 3$ ， $[- 1.4] = - 2$ ， $[- 4] = - 4$ .下列关于 $[x]$ 的性质的叙述中，正确的是（）

A、 $[x - y] \leq [x] - [y]$ B、若 $|\frac{[y]}{[x]}| \leq 1$ ，则 $|x - y| < 1$ C、若函数 $f (n)$ 的解析式为 $f (n) = [\sqrt{n (n + 1)}]$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $\sum_{n = 1}^{64} f (n) = 2080$ D、 $M = [\frac{2}{3}] + [\frac{2^{2}}{3}] + [\frac{2^{3}}{3}] + \dots + [\frac{2^{2024}}{3}]$ 被3除余数为1

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10、设函数 $f (x)$ ， $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且函数 $f (2 x - 1)$ ， $f^{'} (x - 2)$ 均为偶函数.若当 $x \in [1, 2]$ 时， $f^{'} (x) = a x^{3} + 4$ ，则 $f^{'} (90)$ 的值为（）

A、 $- 42$ B、 $- 35$ C、 $- 28$ D、 $- 21$

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11、若关于 $x$ 的不等式 $2 + ln x \leq a x + b \leq e^{x}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{e}, 1]$ B、 $[1, \sqrt{e}]$ C、 $[1, e]$ D、 $[\frac{1}{e}, e]$

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12、函数 $y = \sin (2 x) \cdot \log_{2} |x|$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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13、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 6 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 6 < 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 6 \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 6 < 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 6 \geq 0$

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14、设集合 $M = \{x| - 1 < x < 5\}$ ， $N = \{y| y = x - 1, x \in M\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- 2, 5)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- 2, 4)$ D、 $(- 1, 5)$

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15、已知 $P$ 为抛物线 $E : y^{2} = 2 x$ 上的动点， $Q$ 为圆 $C : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 上的动点，若 $|P Q|$ 的最小值为 $\sqrt{3} - 1$ ．

(1)、求 $a$ 的值 $；$

(2)、若动点 $P$ 在 $x$ 轴上方，过 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线分别交抛物线 $E$ 于另外两点 $A$ ， $B$ ，且满足 $|P A| = |P B|$ ，求直线 $A B$ 的方程．

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16、已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{e^{x}}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 2$ ，证明： $0 < m < e$ ，且 $x_{1} + x_{2} < 2$ ．

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17、时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
主播的学历层次
直播带货评级
合计
优秀
良好
本科及以上
60
40
100
专科及以下
35
65
100
合计
95
105
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？

(2)、现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按比例分配分层随机抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取2人参加主播培训，求这2人中，主播带货优秀的人数 $X$ 的概率分布和数学期望；

(3)、统计学中常用 $R (B |A) = \frac{P (B |A)}{P (\bar{B} |A)}$ 表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当 $R (B |A) \geq 1.35$ 时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计 $R (B |A)$ 的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$a$
0.050
0.010
0.001
$x_{a}$
3.841
6.635
10.828

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18、如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B = A A_{1}$ ， D，E，F分别为棱 $A_{1} B_{1}$ ， BC， $B B_{1}$ 的中点，连接 $A_{1} F$ ．

(1)、求证： $A_{1} F ⊥$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、求二面角 $A - C_{1} D - E$ 的正切值．

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19、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 可导，且 $f (x)$ 不恒为0， $f (x + 2)$ 为奇函数， $f (2 x + 1)$ 为偶函数，则下列说法正确的是．（填序号）
① $y = f (x)$ 的周期为4；② $y = f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称；③ $f (2^{n}) = 0 (n \in N^{*})$ ；④ $\sum_{i = 3}^{2024} f (i) = 0$ ．

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20、已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面是等腰梯形 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $C D = \sqrt{3} A B$ ， $A B + C D = 2 O_{1} O_{2}$ ，圆台 $O_{1} O_{2}$ 的底面圆周都在球 $O$ 的表面上．记圆台 $O_{1} O_{2}$ 的体积为 $V_{1}$ ，球 $O$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ ．

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主播的学历层次	直播带货评级		合计
主播的学历层次	优秀	良好	合计
本科及以上	60	40	100
专科及以下	35	65	100
合计	95	105	200

$a$	0.050	0.010	0.001
$x_{a}$	3.841	6.635	10.828