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1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{\cos C}{\cos A} = \frac{2 b - c}{a}$ ，

(1)、若点 $M$ 在边 $A C$ 上，且 $\cos ∠ A M B = \frac{\sqrt{21}}{7}, B M = \sqrt{21}$ ，求 $△ A B M$ 的面积；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b^{2} + c^{2} = a + b c + 2$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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2、已知复数 $z = m^{2} - m - 2 - (m + 1) i, m \in R$ ， i为虚数单位．

(1)、当z是纯虚数时，求m的值；

(2)、当 $m = 1$ 时，求z的模．

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3、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ ．

(1)、当 $λ = - 1$ 时，求 $|\vec{c}|$ ；

(2)、当 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ 时，求 $λ$ 的值．

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4、在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\cos A = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求 $a$ 的值；

(3)、若 $a^{2} = b c$ ，判断 $Δ A B C$ 的形状．

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5、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ .

(1)、过 $B C$ 的截面交 $A_{1} A$ 于 $P$ 点，若 $△ P B C$ 为等边三角形，求出点 $P$ 的位置；

(2)、在（1）条件下，求四棱锥 $P - B C C_{1} B_{1}$ 与三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积比.

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6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有斛.（精确到个位）

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7、向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ_{}$ ，定义运算“ $\otimes$ ”： $\vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ$ ，若 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的值为.

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8、在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z_O=0，z_A=2+ $\frac{a}{2}$ i，z_B=-2a+3i，z_C=-b+ai，则实数a-b为.

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9、如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 $O_{1}$ 的一条直径，若球的半径 $r = 2$ ，则（）

A、球与圆柱的体积之比为 $2 : 3$ B、四面体CDEF的体积的取值范围为 $(0, 32]$ C、平面DEF截得球的截面面积最小值为 $\frac{4 π}{5}$ D、若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $P E + P F$ 的取值范围为 $[2 + 2 \sqrt{5}, 4 \sqrt{3}]$

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10、[多选题]下列命题是真命题的是（）．

A、若A，B，C，D在一条直线上，则 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{C D}$ 是共线向量 B、若A，B，C，D不在一条直线上，则 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{C D}$ 不是共线向量 C、若向量 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{C D}$ 是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D、若向量 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{A C}$ 是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上

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11、不共面的三条定直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 互相平行，点A在 $l_{1}$ 上，点B在 $l_{2}$ 上，C、D两点在 $l_{3}$ 上，若CD $= a$ (定值)，则三棱锥A－BCD的体积

A、由Ａ点的变化而变化 B、由B点的变化而变化 C、有最大值，无最小值 D、为定值

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12、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C = a$ ， $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ A A_{1} C_{1} = 60^{\circ}$ ， $∠ B B_{1} C_{1} = 90^{\circ}$ ，侧棱长为 $b$ ，则其侧面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3} a b}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{2} a b$ C、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) a b$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} a b$

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13、复数 $z$ 满足 $(- 1 + i) z = {(1 + i)}^{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则在复平面上复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，且 $\sin B = 1$ ，向量 $\overset{⃑}{p} = (a, b), \overset{⃑}{q} = (1, 2)$ ．若 $\overset{⃑}{p} ∥ \overset{⃑}{q}$ ，则角C的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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15、若向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足： $\vec{a} \neq \vec{b}, |\vec{c}| = 1$ ，且 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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16、若 $| \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $150^{\circ}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- \sqrt{3}$

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17、设 $n \geq 3$ ，对于数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ，若对任意 $k \in \{1, 2, \dots, n - 1\}$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ 与 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{n}$ 均为非负数或者均为负数，则称数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列.

(1)、判断数列 $\sin 0$ ， $\sin \frac{π}{2}$ ， $\sin π$ ， $\sin \frac{3 π}{2}$ ， $\sin 2 π$ 与数列 $\cos 0$ ， $\cos \frac{π}{2}$ ， $\cos π$ ， $\cos \frac{3 π}{2}$ ， $\cos 2 π$ 分别是否为强数列；

(2)、若存在公比为负数的等比数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2025}$ ，使得它为强数列，求公比q的取值范围；

(3)、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列.

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18、已知函数 $f (x) = 3 x^{2} - 8 \sin (x + φ)$ ，其中 $|φ| \leq π$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 是偶函数，求 $φ$ ；

(2)、当 $φ = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的零点个数；

(3)、若 $\forall x \geq 0$ ， $f (x) \geq 0$ ，求 $φ$ 的取值范围.

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19、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， $A D = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $P D ⊥ C D$ ， E为AB的中点，M为CE的中点.

(1)、证明： $P M ⊥ A B$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{15}$ ， N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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20、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为F，抛物线C上点 $M (2, y_{0})$ 满足 $|M F| = 3$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设点 $D (- 1, 0)$ ，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明： $x = 1$ 是 $∠ A F B$ 的角平分线.

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