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1、在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / C D$ ， $∠ D A B = 90^{°}$ ， $A B = 4$ ， $A D = C D = 2$ ，对角线 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上，且满足 $O M ⊥ B D$ .
(1)求 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{B D}$ 的值；
(2)若 $N$ 为线段 $A C$ 上任意一点，求 $\overset{⇀}{A N} \cdot \overset{⇀}{M N}$ 的最小值.

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2、已知i为虚数单位，实数m为何值时，复数 $z = (m^{2} - 8 m + 15) + (m^{2} + 3 m - 28) i$ 在复平面内对应的点：
（1）位于第四象限?
（2）在实轴负半轴上?
（3）位于上半平面(含实轴)?

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3、某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数（ $i$ 是虚数单位）．
① $\frac{2 + i}{1 - 2 i}$ ；② $\frac{- 4 + 3 i}{3 + 4 i}$ ；③ $\frac{- 1 - i}{- 1 + i}$ ．
从三个式子中选择一个，求出这个常数为；根据三个式子的结构特征及计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式．

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4、若 ${(1 + i)}^{n} = {(1 - i)}^{n}$ ，则n可以是（）

A、102 B、104 C、106 D、108

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5、(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )

A、由一个长方体割去一个四棱柱所构成的 B、由一个长方体与两个四棱柱组合而成的 C、由一个长方体挖去一个四棱台所构成的 D、由一个长方体与两个四棱台组合而成的

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6、如图，圆锥的母线 $A B$ 长为 $2$ ，底面圆的半径为 $r$ ，若一只蚂蚁从圆锥的点 $B$ 出发，沿表面爬到 $A C$ 的中点 $D$ 处，则其爬行的最短路线长为 $\sqrt{5}$ ，则圆锥的底面圆的半径为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $\frac{3}{2}$

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7、从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（）

A、 $4 π - 4$ B、 $4 π$ C、 $4 π - 2$ D、 $2 π - 2$

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8、在 $△ A B C$ 中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(a + b + c) (b + c - a) = 3 b c$ ，且 $\sin A = 2 \sin B \cos C$ ，则此三角形的形状是

A、直角三角形 B、正三角形 C、腰和底边不等的等腰三角形 D、等腰直角三角形

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9、已知点 $A (1, 3), B (4, - 1)$ ，则与 $\vec{A B}$ 同方向的单位向量为（）

A、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ B、 $(3, - 4)$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(- 3, 4)$

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10、下面的几何体中是棱柱的有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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11、若复数 $z$ 满足 $2 z + \bar{z} = 3 - 2 i$ 其中 $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos^{2} \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin^{2} \frac{x}{2} + \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

(1)、将函数 $f (x)$ 化简成 $A \sin (ω x + φ)$ 的形式，并求出函数的最小正周期；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若方程 $2 g (x) - m = 1$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围，并求 $\tan (x_{1} + x_{2})$ 的值.

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13、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (\cos x, \sqrt{3})$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, \sin x)$ ，函数 $f (x) = \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} + 1$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $g (x) = f (2 x - \frac{π}{3})$ ， $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的最值．

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14、已知 $f (α) = \frac{\sin (π + α) \cos (2 π - α) \tan (2 π - α)}{\tan (- α - π) \cos (- \frac{3 π}{2} - α)}$ ．
（1）化简： $f (α)$ ；
（2）在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若 $c = 2$ ， $f (C) = - \frac{1}{2}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，求a、b的值．

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15、已知 $A (4, 0), B (0, 4), C (cos α, sin α), (0 < α < π)$ ．

(1)、若 $|\vec{O A} + \vec{O C}| = \sqrt{21}$ （ $O$ 为坐标原点），求 $\vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{A C} ⊥ \vec{B C}$ ，求 $sin α - cos α, {sin}^{3} α + {cos}^{3} α$ 的值．

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (t, - 1), \vec{c} = (- 3, 1)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b})$ ∥ $(2 \vec{a} - \vec{c})$ ，求实数t的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值．

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17、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{b}| =$ .

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18、在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A = 30 °$ ， $a = 7 \sqrt{2}$ ， $c = 14$ ，则 $C =$ ．

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19、下列四个命题为真命题的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 6)$ ，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 可作为平面向量的一组基底 C、若向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (4, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{16}{5}, \frac{12}{5})$ D、若向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 满足 $|\vec{m}| = 2$ ， $|\vec{n}| = 3$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 3$ ，则 $|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{7}$

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20、与向量 $\vec{a} = (- 6, 8)$ 共线的单位向量的坐标为（　　）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

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