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1、若复数 $z$ 满足 $2 z + \bar{z} = 3 - 2 i$ 其中 $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos^{2} \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin^{2} \frac{x}{2} + \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

(1)、将函数 $f (x)$ 化简成 $A \sin (ω x + φ)$ 的形式，并求出函数的最小正周期；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若方程 $2 g (x) - m = 1$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围，并求 $\tan (x_{1} + x_{2})$ 的值.

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3、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (\cos x, \sqrt{3})$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, \sin x)$ ，函数 $f (x) = \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} + 1$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $g (x) = f (2 x - \frac{π}{3})$ ， $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的最值．

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4、已知 $f (α) = \frac{\sin (π + α) \cos (2 π - α) \tan (2 π - α)}{\tan (- α - π) \cos (- \frac{3 π}{2} - α)}$ ．
（1）化简： $f (α)$ ；
（2）在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若 $c = 2$ ， $f (C) = - \frac{1}{2}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，求a、b的值．

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5、已知 $A (4, 0), B (0, 4), C (cos α, sin α), (0 < α < π)$ ．

(1)、若 $|\vec{O A} + \vec{O C}| = \sqrt{21}$ （ $O$ 为坐标原点），求 $\vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{A C} ⊥ \vec{B C}$ ，求 $sin α - cos α, {sin}^{3} α + {cos}^{3} α$ 的值．

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (t, - 1), \vec{c} = (- 3, 1)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b})$ ∥ $(2 \vec{a} - \vec{c})$ ，求实数t的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值．

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7、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{b}| =$ .

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8、在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A = 30 °$ ， $a = 7 \sqrt{2}$ ， $c = 14$ ，则 $C =$ ．

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9、下列四个命题为真命题的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 6)$ ，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 可作为平面向量的一组基底 C、若向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (4, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{16}{5}, \frac{12}{5})$ D、若向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 满足 $|\vec{m}| = 2$ ， $|\vec{n}| = 3$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 3$ ，则 $|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{7}$

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10、与向量 $\vec{a} = (- 6, 8)$ 共线的单位向量的坐标为（　　）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

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11、在 $△ A B C$ 中， $A D$ ， $B E$ ， $C F$ 分别是 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ 的中线且交于点 $O$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{C A}$ B、 $\vec{A O} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ C、 $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{0}$ D、 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$

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12、已知点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $D, E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 边上一点， $D$ ， $G$ ， $E$ 三点共线， $F$ 为 $B C$ 的中点，若 $\vec{A F} = λ \vec{A D} + μ \vec{A E}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{4}{μ}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{27}{2}$ B、7 C、 $\frac{9}{2}$ D、6

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13、若函数 $f (x) = \sin ω x - \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{3}$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $3$

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14、已知点E为平行四边形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点，且 $D E = 2 B E$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$

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15、若 $tan θ =−2$ ，则 $\frac{1−sin2 θ}{\sqrt{2} sin θ ⋅sin (θ − \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $− \frac{1}{2}$ C、 $− \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, t)$ ， $\vec{b} = (3, 9)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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17、设平面内两个非零向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角为 $θ$ ，定义一种运算“ $\otimes$ ”： $\vec{m} \otimes \vec{n} = | \vec{m} | | \vec{n} | \sin θ$ ．试求解下列问题：

(1)、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2, 1), | \vec{b} | = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的值；

(2)、①若 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，用坐标 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ 表示 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ ；
②在平面直角坐标系中，已知点 $A (2, 1), B (- 1, 2), C (0, 4)$ ，求 $\vec{A B} \otimes \vec{B C}$ 的值；

(3)、已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{\cos α}, \frac{2}{\sin α}), \vec{b} = (\frac{2}{\sin α}, - \frac{1}{\cos α}), α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的最小值．

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18、如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角 $∠ M O N = \frac{π}{4}$ ，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形 $A B C D$ (四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为 $△ D A M$ ，记 $∠ M O D = α .$

(1)、当角 $α$ 取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.

(2)、若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元 $($ 不计桥的宽度 $)$ ；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.

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19、已知在 $△ A B C$ 中， $C = 2 A$ ， $cos A = \frac{3}{4}$ ， $A B = \frac{3}{2} B C$ 且 $2 \vec{B A} \cdot \vec{C B} = - 27$ ．

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、求 $A C$ 的长度．

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20、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (m, - 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 2)$ .

(1)、若 $(\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) ⊥ 2 \overset{⃑}{b}$ ，求 $|\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}|$ ；

(2)、若向量 $\overset{⃑}{c} = (- 2, 1)$ ， $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{c}$ ，求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}$ 夹角的余弦值.

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