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1、某保险公司随机选取了200名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索赔情况，结果如下：
单位：人
一年内是否索赔
驾龄
合计
不满10年
10年以上
是
10
5
15
否
90
95
185
合计
100
100
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄有关？

(2)、保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为 $p$ ，投保的老司机索赔的概率均为 $q (p \neq q)$ ．假设投保司机中新司机的占比为 $β (0 < β < 1)$ .随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第 $i$ 年索赔”为 $A_{i}$ ，事件“这名司机是新司机”为 $B$ .已知 $P (A_{i} |B) = P (A_{i} |A_{j} B), P (A_{i} |\bar{B}) =$ $P (A_{i} |A_{j} \bar{B})$ $(i \neq j)$ .
（i）证明： $P (A_{1} A_{2} B) = P (A_{2} |A_{1} B) P (A_{1} |B) P (B)$ ；
（ii）证明： $P (A_{2} |A_{1}) > P (A_{1})$ ，并给出该不等式的直观解释.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$χ_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$

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2、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2, A C = B C$ ， $l$ 为平面 $A B C$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 的交线， $P$ 为直线 $l$ 上一点．

(1)、若 $A C = 2$ ，求 $△ P A C$ 的面积；

(2)、若平面 $A A_{1} B$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $A C$ ．

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3、已知地物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $l : y = x + t$ ．当 $t = \frac{1}{2}$ 时， $l$ 与 $C$ 有且仅有一个交点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 交于两个不同的点 $A, B$ ，设 $A B$ 的中点为 $M$ ，过点 $M$ 平行于 $x$ 轴的直线与 $C$ 交于点 $N$ ，求 $\frac{{|A B|}^{2}}{|M N|}$ ．

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4、在 $△ A B C$ 中，已知内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $D$ 为线段 $B C$ 上一点， $A D = 1$ ．

(1)、若 $D$ 为 $B C$ 的中点，且 $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $A C = 2 A B, \vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，且 $∠ B A D = \frac{π}{6}$ ，求 $c$ ．

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5、如图，设 $O x$ 、 $O y$ 是平而内相交成 $60^{\circ}$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点 $P$ ，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记 $P (x, y)$ ， $d (\vec{O P}) = |x| + |y|$ ．已知平面内两点 $M (x_{1}, y_{1})$ 、 $N (x_{2}, y_{2})$ ，其中 $d (\vec{O N}) = 2$ ，则点 $N$ 的轨迹围成的图形面积为；若 $d (\vec{O N}) = 2 d (\vec{O M}) = 2$ ，则 $\frac{d (\vec{O M})}{|\vec{O M}|}$ 的最大值为．

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6、若 $x = \frac{1}{3}$ 是函数 $f (x) = sinπ x + a cosπ x$ 的一个极大值点，则 $f (\sqrt{3} a) =$ ．

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7、已知函数 $f (x)$ 满足： $\forall x, y \in R, f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (1) \neq 0$ ，那么（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (1) = 2$ C、 $f (- x) = f (x)$ D、若 $f (π) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (x + 2 π) = f (x)$

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8、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ D A B = 60 °$ ，将 $△ B C D$ 沿对角线 $B D$ 向上折起，得到平面 $B D C^{'}$ ，二面角 $C^{'} - B D - A$ 的大小为 $φ$ ，则（）

A、当 $φ = 90 °$ 时 $A B ⊥ C^{'} D$ B、当 $φ = 90 °$ 时，二面角 $B - A C^{'} - D$ 是锐角 C、当 $\cos φ = \frac{1}{3}$ 时，四面体 $A B C^{'} D$ 各条棱长相等 D、当 $\cos φ = \frac{1}{3}$ 时，四面体 $A B C^{'} D$ 的外接球表面积为 $6 π$

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9、已知随机变量 $X$ 的分布列如下，则（）
$X$
1
2
3
4
$P$
$4 p$
$3 p$
$2 p$
$p$

A、 $p = 0.2$ B、 $P (X < 3) = 0.7$ C、 $E (X) = \frac{5}{2}$ D、 $D (X) = 1$

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10、已知正实数 $a, b, c$ ，且 $a > b$ ，若 $2^{a} \cdot 3^{a - b} + 3^{c - b} = 1 + 2^{b}$ ，则（）

A、 $b > c, 2 b \geq a + c$ B、 $b < c, 2 b \leq a + c$ C、 $b > c, 2 b \leq a + c$ D、 $b < c, 2 b \geq a + c$

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $M$ 是 $C$ 上一点， $P$ 、 $Q$ 分别是 $M F_{1}$ 、 $M F_{2}$ 的中点， $O$ 为坐标原点，若 ${|O P|}^{2} + {|O Q|}^{2} = a^{2} - b^{2}$ ，且四边形 $O P M Q$ 的面积为 $\frac{5}{2}$ ， $C$ 的短轴长为（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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12、函数 $f (x) = x (x^{2} - 2) + 1$ ，若 $f (a) = - 1$ ．则 $f (- a) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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13、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，若 $a_{4} + a_{5} = 8 (a_{1} + a_{2})$ ，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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14、从小到大排列的一组数据 $1, 2, 4, x, 7, 9$ 的中位数等于平均数，则 $x =$ （）

A、 $4.5$ B、5 C、 $5.5$ D、6

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15、已知复数 $z = 2 - b i$ ，若 $z^{2}$ 为纯虚数，则 $b =$ （）

A、0 B、 $\pm 1$ C、 $\pm 2$ D、 $\pm 3$

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16、已知集合 $A = \{x |1 \leq x \leq 10\}, B = \{x |x = 3 k - 1, k \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ B、 $\{2, 5, 8\}$ C、 $\{1, 4, 7, 10\}$ D、 $\{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

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17、在某校举办的学科文化节系列活动中，数学组老师设计了一个答题挑战活动供全校数学爱好者挑战．挑战题目由逻辑推理题和运算求解题两部分构成，用于考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．现有 $n$ 名同学报名依次发起挑战，每位同学成功解答出逻辑推理题和运算求解题的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，两题能否解出相互独立，每位同学解题过程相互独立，挑战规则如下：
①每位同学均先答逻辑推理题，逻辑推理题答对才能答运算求解题；
②记第 $k (k = 1, 2, 3, \dots, n)$ 位同学挑战为本次挑战活动的第 $k$ 轮，若第 $i (i = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ 位同学在规定时间内未完成逻辑推理题，则认为本次活动的第 $i$ 轮挑战失败，该同学退出由第 $i + 1$ 位同学挑战；
③若第 $i (i = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ 位同学在规定时间内完成逻辑推理题，则该同学继续答运算求解题，若该同学在规定时间内未完成运算求解题，则也认为本次活动的第 $i$ 轮挑战失败，该同学退出，由第 $i + 1$ 位同学挑战；若该同学在规定时间内完成了运算求解题，则挑战成功，本次答题挑战活动结束，后续同学不再进行答题挑战．
④挑战进行到第 $n$ 轮，则不管第 $n$ 位同学是否完成两题的解答，答题挑战活动结束．令随机变量 $X_{n}$ 表示这 $n$ 名同学在进行第 $X_{n} (X_{n} = 1, 2, 3, \dots, n)$ 轮挑战后结束挑战活动．

(1)、求随机变量 $X_{5}$ 的分布列；

(2)、若把挑战规则①去掉，换成规则⑤：挑战的同学先挑战逻辑推理题，若有同学在规定时间内完成逻辑推理题，以后挑战的同学不再挑战逻辑推理题，直接挑战运算求解题．令随机变量 $Y_{n}$ 表示这 $n$ 名同学在第 $Y_{n} (Y_{n} = 1, 2, 3, \dots, n)$ 轮挑战后结束挑战活动．
（i）求随机变量 $Y_{n} (n \in N^{*}, n \geq 2)$ 的分布列；
（ii）证明： $E (Y_{n}) < 3$ ．

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in [0, + \infty), b \in (- \infty, 1]$ 时， $f (x) \geq a x^{2} + b$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $\sum_{k = 2}^{n + 1} f (\frac{1}{k}) > n - \frac{1}{2 n + 4} + \frac{1}{4}$ ．

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19、已知直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 为坐标原点．

(1)、证明： $4 k^{2} + 1 > m^{2}$ ；

(2)、已知 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，证明：点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为定值．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B // D C, C D = 2 A B = 2 A D = 2$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $A D ⊥$ 平面 $P C D, P C = \sqrt{5}, P D = 1$ ，求平面 $P D M$ 和平面 $B D M$ 所成的角的正弦值．

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一年内是否索赔	驾龄		合计
一年内是否索赔	不满10年	10年以上	合计
是	10	5	15
否	90	95	185
合计	100	100	200

$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$
$χ_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$

$X$	1	2	3	4
$P$	$4 p$	$3 p$	$2 p$	$p$