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1、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，满足 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{3} + a_{4} = 19$ ， $S_{11} = 11 (b_{4} + 1)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{(a_{n} - 1) b_{n} - 2}{(b_{n} + 1) (b_{n + 2} + 1)}, n 为奇数 \\ {(- 1)}^{\frac{n}{2}} (n - 1) b_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{2 n} c_{i}$ ；

(3)、若对于数列 ${a_{n}}$ ，在 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 之间插入 $b_{k}$ 个 $1 (k \in N^{*})$ ，组成一个新的数列 ${d_{n}}$ ，记数列 ${d_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2025}$ .

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2、过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一动点 $P$ 作圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，若 $| A B | \cdot | P C |$ 的最小值是 $12$ ，则 $r =$ .

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3、若直线 $x = 1$ 上一点 $P$ 可以作曲线 $x = ln y$ 的两条切线，则点 $P$ 纵坐标的取值范围为．

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4、对一列整数，约定：输入第一个整数 $a_{1}$ ，只显示不计算，接着输入整数 $a_{2}$ ，只显示 $|a_{1} - a_{2}|$ 的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值.设全部输入完毕后显示的最后的结果为 $p$ .若将从1到2022的2022个整数随机地输入，则（）

A、 $p$ 的最小值为0 B、 $p$ 的最小值为1 C、 $p$ 的最大值为2020 D、 $p$ 的最大值为2021

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5、高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如 $[- 2.1] = - 3$ ， $[2.1] = 2$ . 已知函数 $f (x) = s i n |x| + |s i n x|$ ，函数 $g (x) = [f (x)]$ ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（）

A、函数 $g (x)$ 不是周期函数； B、函数 $g (x)$ 的值域是 ${0 ， 1 ， 2}$ C、函数 $g (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称： D、方程 $\frac{π}{2} \cdot g (x) = x$ 只有一个实数根；

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6、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $A, B$ ，点 $B^{'}$ ， $E$ 在 $C$ 的准线 $l^{'}$ 上，且 $B B^{'} ∥ x$ 轴，则下列说法正确的是（）

A、 $|A F| + 9 |B F|$ 的最小值为22 B、 $A, O, B^{'}$ 三点共线 C、存在点 $E$ ，使得 $F$ 到直线 $E A, E B$ 的距离相等 D、若 $E F ⊥ A B$ ，则 $E A ⊥ E B$

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7、已知函数 $f (x) = ln \frac{x}{x - 2} + x - 1$ ， $g (x) = e^{x} - e^{2 - x}$ ，则方程 $f (x) = g (x)$ 的所有实数解的和是（）

A、6 B、4 C、2 D、1

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8、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\frac{a}{\cos A}$ ， $\frac{b}{\cos B}$ ， $\frac{c}{\cos C}$ 成等差数列，则 $\frac{\sin A}{\cos B \cos C}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9、若在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3, B C = 1, A A_{1} = 4$ ．则四面体 $A B B_{1} C_{1}$ 与四面体 $A_{1} C_{1} B D$ 公共部分的体积为（）

A、 $\frac{3}{13}$ B、 $\frac{10}{39}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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10、已知圆M的方程为 $x^{2} + y^{2} + 8 x - 8 y - 17 = 0$ ，圆N上任意一点P到定点 $O (0, 0)$ ， $A (3, 0)$ 的距离比为 $\frac{1}{2}$ ，则圆M与圆N的位置关系是（）

A、相交 B、相离 C、外切 D、内切

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11、若 $z i^{3} = 1 - \sqrt{5} i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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12、已知集合 $U = \{x \in N| x \leq 4\}$ ，集合 $A = \{2, 3, 4\}$ ， $B = \{x| x + 1 \in A\}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 4\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 4\}$

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13、（1）已知 $x > 3$ ，求 $\frac{4}{x - 3} + x$ 的最小值；
（2）已知 $x, y$ 是正实数，且 $x + y = 1$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值.

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14、函数 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - 3 x - 4)$ 的单调减区间为.

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15、已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为．

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16、函数 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的单调增区间为.

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17、已知函数 $f (x) = sin 2 x + \sqrt{3} cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的一个对称中心坐标为 $(- \frac{π}{6}, 0)$ C、 $f (x)$ 的图象可由函数 $g (x) = 2 sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到 D、 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = - \frac{5 π}{12}$

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18、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2}), tan 2 α = - \frac{4}{3}, tan (α + β) = 7$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $tan α = 2$ B、 $tan β = \frac{1}{3}$ C、 $β = α + \frac{π}{4}$ D、 $β = α - \frac{π}{4}$

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19、将函数 $f (x) = cos (2 x + φ) (φ > 0)$ 图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到奇函数，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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20、已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - x + 3$ 的一个零点，则 $x_{0} \in$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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