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1、某公司计划生产一类电子设备，该电子设备每月产量不超过 $150$ 台，每台售价为 $40$ 万元. 每月生产该电子设备的成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本为 $20$ 万元，每月生产 $x$ 台 $(x \in N^{*})$ 时需要投入的可变成本为 $Q (x)$ （单位：万元），每月的利润为 $f (x)$ （单位：万元），其中利润是收入与成本之差．当每月产量不超过 $40$ 台时， $Q (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 10 x$ ；当每月产量超过 $40$ 台时， $Q (x) = 41 x + \frac{10000}{x} - 690$ ．假设该公司每月生产的电子设备都能够售罄．

(1)、求 $f (x)$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、如果你是该公司的决策者，分析每月生产多少台电子设备可以使月利润最大？最大利润是多少？

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2、设函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + 2$ $(a \neq 0)$ .

(1)、若______（从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知），
求实数 $a$ 的值，并以此时 $f (x)$ 的图象与坐标轴的交点为三角形的顶点，求该三角形的面积；
条件①：关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 有两个实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} \cdot x_{2} = 2$ ；
条件②： $\forall x \in R$ ，都有 $f (\frac{3}{2} - x) = f (\frac{3}{2} + x)$ ；
条件③： $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{4}$ ，且 $a < 2$ .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集.

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3、设函数 $f (x) = x - \frac{4}{x} + a$ ， $g (x) = \sqrt{x}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、根据定义证明 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、若对 $\forall x_{1} \in [1, 2]$ ， $\exists x_{2} \in [0, 4]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x, 0 \leq x < 2 \\ x - 2, x \geq 2 \end{array}$ .

(1)、求 $f (f (\frac{5}{2}))$ 的值；

(2)、 $f (x)$ 的部分图象如下图，请将 $f (x)$ 的图象补充完整，并写出 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 恰有6个实数根，则实数 $t$ 的取值范围是________．

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5、已知集合 $A = {x | 0 < x < 3}$ ， $B = {x | a - 3 < x < 2 a - 1}$ ．

(1)、若 $a = 4$ ，求 $A \cap B$ ， $(∁_{R} A) \cup B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、已知 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，若 $f (x)$ 同时满足以下两个条件：（i） $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ；（ii） $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为 $(0, + \infty)$ 的四个函数：
① $f (x) = \frac{1}{x}$ ；
② $f (x) = x^{2}$ ；
③ $f (x) = - \sqrt{x}$ ；
④ $f (x) = - x^{2} - 3 x$ ．
其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是．

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7、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x, - 3 \leq x \leq a \\ \frac{1}{x}, x > a \end{array}$ ，若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 的值域是；若 $f (x)$ 的值域是 $[- 1, 3]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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8、能够说明“若 $a > b > c$ ，则 $a b > c^{2}$ ”是假命题的一组实数 $a, b, c$ 的值依次为．

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9、设集合 $M = {1, a, a^{2} - 2 a}$ ，若 $0 \in M$ ，则实数 $a$ 的值为．

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10、函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{3 - x}$ 的定义域为．

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11、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2)$ 为偶函数．当 $x \leq 2$ 时， $f (x) = 2 f (x - 1)$ ，且当 $x \in (- 1, 0]$ 时， $f (x) = (x + 1) x$ ．对 $\forall x \in [m, + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{8}{9}$ ，则 $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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12、2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往.居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过15 $m^{3}$ 的部分
2.07元/ $m^{3}$
超过15 $m^{3}$ 但不超过21.67 $m^{3}$ 的部分
4.07元/ $m^{3}$
超过21.67 $m^{3}$ 的部分
6.07元/ $m^{3}$
若某户居民希望本月缴纳的水费不超过 $51.4$ 元，则此户居民本月用水最多为（）

A、19 $m^{3}$ B、20 $m^{3}$ C、21 $m^{3}$ D、22 $m^{3}$

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13、已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，则 $f (a^{2} - 2 a + 4)$ 与 $f (- 2)$ 的大小关系为（）

A、 $f (a^{2} - 2 a + 4) > f (- 2)$ B、 $f (a^{2} - 2 a + 4) = f (- 2)$ C、 $f (a^{2} - 2 a + 4) < f (- 2)$ D、不确定

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14、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 4 x$ ， $g (x) = x$ ，对 $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的最小者，记为 $m (x) = \min {f (x), g (x)}$ ，则当 $m (x)$ 取得最大值时 $x$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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15、已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + 6 > 0$ 的解集为 ${x | - 3 < x < 2}$ ，则 $a + b$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $2$

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域和值域均为 $[0, 2]$ ，则 $f (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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17、下列函数中，在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + 2 x$ D、 $f (x) = | x |$

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18、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} < 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq 0$ C、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} < 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} \leq 0$

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19、已知集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {0, 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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20、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为开区间 $I$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线 $l$ 与 $y = f (x)$ 的图像只有唯一的公共点，则称 $y = f (x)$ 为“ $L$ 函数”，切线 $l$ 为一条“ $L$ 切线”．

(1)、判断 $y = x - 1$ 是否是函数 $y = ln x$ 的一条“ $L$ 切线”，并说明理由；

(2)、设 $g (x) = e^{2 x} - 6 x$ ，求证： $y = g (x)$ 存在无穷多条“ $L$ 切线”；

(3)、设 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 1 (0 < x < c)$ ，求证：对任意实数 $a$ 和正数 $c ， y = f (x)$ 都是“ $L$ 函数”

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每户每月用水量	水价
不超过15 $m^{3}$ 的部分	2.07元/ $m^{3}$
超过15 $m^{3}$ 但不超过21.67 $m^{3}$ 的部分	4.07元/ $m^{3}$
超过21.67 $m^{3}$ 的部分	6.07元/ $m^{3}$