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1、已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的两个焦点是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，顶点 $A (0, - 2)$ ，点M是双曲线C上一个动点，且 $|{|M F_{1}|}^{2} - {|M F_{2}|}^{2}|$ 的最小值是 $8 \sqrt{5}$ .

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标.

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2、在多面体 $A B C D E$ 中，已知 $A B = A C = 4$ ， $E A = E B = D A = D C = 2 \sqrt{3}$ ， $D E = \frac{1}{2} B C$ 且 $D E / / B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ．

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A E$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值．

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3、已知a，b，c是 $△ A B C$ 中三内角A，B， $C$ 所对的边，设 $△ A B C$ 面积为 $S$ ， $\frac{S}{b^{2} + c^{2} - 4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $a = 2$ ．
（1）求角A的值；
（2）若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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4、某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50), [50, 60), \dots, [90, 100]$ ，并作出如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值；

(3)、若落在 $[50, 60)$ 中的样本数据平均数是52，方差是6；落在 $[60, 70)$ 中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数 $\bar{x}$ 和方差 $σ^{2}$ .

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5、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知 $a sin A + sin B = sin C$ ， $tan C = \frac{4}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆半径r的最大值为.

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6、某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是．

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7、已知 $A$ 、 $B$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右两个顶点， $F$ 为右焦点， $M$ 、 $N$ 是椭圆上异于 $A$ 、 $B$ 的任意两点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、直线 $M A$ 、 $M B$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ B、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则直线 $M A$ 、 $N A$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ C、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则直线 $O M$ 、 $O N$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{3}$ D、若三角形 $O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则直线 $O M$ 、 $O N$ 的斜率之积为 $\frac{3}{4}$

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的两焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交右支于 $A$ 、 $B$ 点，且 $\vec{A B} = 3 \vec{A F_{2}}$ ，若 $∠ F_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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9、若 $\forall a$ 、 $b \in R$ 都有 $a^{2} - a b + 1 = 0$ 恒成立，则（）

A、 $|a + b| \geq 2$ B、 $|a + b| \leq 3$ C、 $a^{2} + b^{2} \leq 4$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 5$

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10、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，满足 $a_{n} + 2 T_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2025} =$ （）

A、 $\frac{1011}{1013}$ B、 $\frac{1012}{1013}$ C、 $\frac{4049}{4051}$ D、 $\frac{4050}{4051}$

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11、若 $\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ - \cos θ} = 2$ ，则 $\frac{\sin θ (1 + \sin 2 θ)}{\sin θ + \cos θ} =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $f (x + \frac{3}{4})$ 为偶函数且 $f (1) = 3$ ，则 $f (2023) + f (2024) =$ （）

A、3 B、 $- 5$ C、 $- 3$ D、0

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13、已知 $z \in C$ ，则“ $z$ 为纯虚数”是“ $z + \bar{z} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $2 A D = 2 D C = 2 C B = A B = 6$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 的中点， $B F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ．

(1)、令 $\vec{A E} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B F}$ ；

(2)、求线段 $A M$ 的长．

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15、抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点 $A$ 处测得其顶点 $P$ 的仰角为 $45^{\circ}$ ､点 $B$ 处测得其顶点 $P$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，若 $|A B| = 55$ 米，且 $∠ O A B = 60^{\circ}$ ，则解放碑的高度 $O P =$ 米．

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16、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = \frac{π}{3}, b = 2, a^{2} + c^{2} = 3 a c$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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17、《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边 $a$ ， $b$ ， $c$ ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = 6 \sqrt{3}$ ，请运用上述公式判断下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ B、 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $2 C = A + B$ C、 $△ A B C$ 外接圆的直径为 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$ D、 $△ A B C$ 的中线 $C D$ 的长为 $3 \sqrt{2}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (3, m)$ ，则（）

A、 $|\vec{a}| < |\vec{b}|$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} |_{min} = 2$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角可能为 $180^{\circ}$ D、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 不可能垂直

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19、如图，在海面上有两个观测点 $B, D$ ，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天 $10 : 00$ 观察到某航船在C处，此时测得 $∠ C B D = 45 °$ ， 5分钟后该船行驶至A处，此时测得 $∠ A B C = 30 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ， $∠ A D C = 30 °$ ，则该船行驶的距离 $A C =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ km B、 $2 \sqrt{2}$ km C、 $\sqrt{6}$ km D、 $2 \sqrt{6}$ km

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20、已知向量 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (2, - 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b} - \vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{5}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{5}{2})$ C、 $(- 3 ， - 2)$ D、 $(- 3 \sqrt{13} ， - 2 \sqrt{13})$

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