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1、圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（）

A、10 B、20 C、40 D、60

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2、将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有（）

A、50 B、150 C、240 D、300

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3、 $2^{2024} + 1$ 除以15的余数是（）

A、9 B、8 C、3 D、2

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4、深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（）

A、0.3 B、0.32 C、0.68 D、0.7

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5、在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（）种

A、72 B、36 C、12 D、6

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6、已知x，y的对应值如下表所示：若y与x线性相关，且求得的回归直线方程为 $\hat{y} = 2 \hat{x} + 3$ ，则 $m =$ （）
x
12
9
14
y
27
20
m

A、30 B、31 C、32 D、33

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7、投掷一枚质地均匀的骰子两次，记 $A =$ {两次的点数均为偶数}， $B =$ {两次的点数之和为6}，则 $P (B | A) =$ （　　）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8、定义：若函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象上分别存在点 $M$ 和 $N$ 关于 $x$ 轴对称，则称函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 具有 $C$ 关系．

(1)、判断函数 $f (x) = e^{x} - 2$ 和 $g (x) = x$ 是否具有 $C$ 关系；

(2)、若函数 $f (x) = x e^{x}$ 和 $g (x) = - k \sin x$ （ $k > 0$ ）在区间 $(0, π)$ 上具有 $C$ 关系，求实数 $k$ 的取值范围．

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9、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{1} B C D_{1}$ 均为菱形， $∠ A B C = A_{1} B C = 60^{\circ}, cos ∠ A_{1} A B = \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

(1)、证明：平面 $A_{1} B C D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - D D_{1} - C_{1}$ 的正弦值.

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10、已知函数 $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 9 (a \in R)$ 的两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $x_{1} = - 2 x_{2}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最值.

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11、在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A A_{1} = 5$ ， $A B = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，则 $B D_{1}$ 的长为.

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12、已知函数 $f (x) = 13 - 8 x + \sqrt{2} x^{2}$ ，且 $f^{'} (a) = 4$ ，则实数 $a$ 的值.

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13、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} + μ \vec{A D_{1}}$ ，其中 $λ \in (0, 1)$ ， $μ \in (0, 1)$ ，则（）

A、平面 $P A C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ B、当 $λ + μ = 1$ 时，三棱锥 $A_{1} - P B C_{1}$ 的体积为定值 C、当 $μ = \frac{3}{4}$ 时，存在点 $P$ ，使得 $B P ⊥ P C_{1}$ D、当 $λ = \frac{3}{4}$ 时，存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} ⊥$ 平面 $P C D$

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14、已知定义域为 $[- 3, 5]$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 有极小值 $f (2)$ C、 $f (x)$ 有2个极值点 D、 $f (x)$ 在 $x = - 3$ 处取得最大值

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15、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R， $f (0) = 0$ 且 $f (x) + f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $f (x^{2} + 4 x - 5) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 5) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$ C、 $(- 5 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 5)$

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16、当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = \frac{a e^{x} + b}{x} (x > 0)$ 取得最小值 $2 e$ ，则 $a + b =$ （）

A、2 B、1 C、－1 D、－2

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17、曲线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ 在点 $(- 1, \frac{3}{2})$ 处切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3π}{4}$ D、 $- \frac{π}{4}$

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - m x, x \in (0, + \infty)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，
（i）求m的取值范围；
（ii）求证： $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点 $P (1, 0)$ 且与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 与椭圆交于 $M, N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $P$ 且平行于 $A M$ 的直线交直线 $x = \frac{5}{2}$ 于点 $Q$ ，求证：直线 $N Q$ 恒过定点.

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20、如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $C D$ 的中点，现将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ，得到如图2所示的四棱锥 $D - A B C E$ ，点 $P$ 为棱 $D B$ 上一点.

(1)、证明： $A D ⊥ B E$ ；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得直线 $E P$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ ？若存在，求 $D P : D B$ 的值；若不存在，请说明理由.

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