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1、已知：如图，将边长为 $\sqrt{3}$ 的正 $△ A B C$ 的三个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的六边形DEFGHI.则阴影部分的面积是.

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2、计算： $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^{2023} (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2024} =$ .

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3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 $O, A B = A O = 1 + \sqrt{3}, E$ 为AD边上一个动点（不与点D，E重合）连接OE，将 $△ O D E$ 沿OE折叠，点 $D$ 落在 $M$ 处，OM交边AD于点 $F$ ，当 $△ A O F$ 是等腰三角形时，MF的长是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或1 D、 $1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}$ 或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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4、代数式 $\sqrt{(4 - x)^{2} + 49} - \sqrt{x^{2} + 1}$ 的最大值是（）

A、6 B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、不存在

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5、若方程 $x^{2} + 2 (1 + a) x + 3 a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} + 2 = 0$ 有实数根，则ab的值是（）

A、- $\frac{1}{2}$ B、-2 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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6、如图钢架中， $∠ A = α$ ，焊上等长的钢条 $P_{1} P_{2}$ ， $P_{2} P_{3}, P_{3} P_{4}, ⋯$ .若 $P_{1} P_{2} = P_{1} A$ ，这样的钢条能且只能焊5根，则 $α$ 的取值范围是（）

A、 $α \geq 1 5^{°}$ B、 $α < 1 8^{°}$ C、 $1 5^{°} \leq α < 1 8^{°}$ D、 $1 5^{°} < α \leq 1 8^{°}$

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7、如图，在 $□ A B C D$ 中， $∠ B A C = 4 5^{°}, A E ⊥ B C$ 于点 $E$ . $B E = 6, C E = 4$ ，则 $□ A B C D$ 的面积为（）

A、60 B、120 C、50 D、100

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8、已知 $2 x^{4} - x^{3} + x - 2 = 0$ ，则 $x + \frac{1}{x}$ 的值为（）

A、-2 B、2 C、-2或2 D、 $- 2, 2$ 或 $\frac{1}{2}$

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9、已知五个数据：1，2，3，6，x.若这组数据的中位数和平均数相等，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、-2 C、3或0 D、3或-2

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10、用反证法证明"四边形中至少有一个内角不小于 $9 0^{°}$ "时，首先应假设（）

A、至少有一个内角大于 $9 0^{°}$ B、四个内角都小于 $9 0^{°}$ C、至少有一个内角小于 $9 0^{°}$ D、四个内角都大于 $9 0^{°}$

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11、已知a，b，c均为实数，且满足 $a < b$ ，下列式子一定成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $c^{2} a < c^{2} b$ C、 $- 2 a < - 2 b$ D、 $a - 2 < b + 2$

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12、据初步核算，2024年中国一季度国内生产总值超290000亿元，同比增长5. $3 %$ .数据290000亿用科学记数法可以表示为（）

A、 $2.9 \times 1 0^{13}$ B、 $29 \times 1 0^{14}$ C、 $2.9 \times 1 0^{14}$ D、 $2.9 \times 1 0^{12}$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = B C, A D ⊥ C E, B E ⊥ C E$ ，垂足分别为D ， E ．

(1)、求证： $D C = E B$ ；

(2)、若点F是AB的中点，连接CF ， FD ，并延长FD交BC于点G ，如果 $∠ D A C = α$ ，求 $∠ B G F$ 的度数（用含 $α$ 的式子表示）；

(3)、在（2）的条件下，若 $D E = 2 B E$ ，求 $△ C D F$ 的面积 $S_{1}$ 与 $△ A D F$ 的面积 $S_{2}$ 之比．

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14、【阅读理解】
若x满足 $(5 - x) (x - 2) = 2$ ，求 $(5 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$ 的值．
解：设 $5 - x = a, x - 2 = b$ ，
则 $(5 - x) (x - 2) = a b = 2, a + b = (5 - x) + (x - 2) = 3$ ，
$∴ (5 - x)^{2} + (x - 2)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 3^{2} - 2 \times 2 = 5$ ．
【解决问题】

(1)、若x满足 $(7 - x) (x - 3) = 3$ ，则 $(7 - x)^{2} + (x - 3)^{2} =$ ；

(2)、若x满足 $(x + 1)^{2} + (x - 3)^{2} = 26$ ，求 $(x + 1) (x - 3)$ 的值；

(3)、如图，已知正方形AEMG被分割成4个部分，其中四边形CDEF与BCNG为正方形。若 $A B = x, A D = x + 1$ ，四边形ABCD的面积为5，求正方形AEMG的面积．

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15、在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ，求证： $∠ B < ∠ C$ ．

(1)、如图1，小明以“折叠”为思路：将 $△ A B C$ 沿AE折叠，使点C落在AB边的点D处。然后可以证明 $∠ B < ∠ C$ ，试写出小明的证明过程；

(2)、在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图2中设计一种不同于小明的证明方法（要求有必要的辅助线和证明过程）．

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16、在2023年粤港澳青少年机器人大赛中，参赛选手用程序控制小型赛车进行50m比赛，“梦想号”和“彩虹号”两辆赛车在赛前训练时，“梦想号”从起点出发8秒后，“彩虹号”才从起点出发，结果“彩虹号”迟到2秒到达终点．已知“彩虹号”的平均速度是“梦想号”的2.5倍，求两辆赛车的平均速度各是多少？

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17、如图，在 $△ A P C$ 中， $A P = P Q = A Q = Q C$ ．

(1)、求 $∠ P A C$ 的度数；

(2)、过点Q作 $B Q ⊥ A Q$ ，交AP的延长线于点B ，求证： $△ P A C ≌ △ A Q B$ ．

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18、先化简，再求值： $\frac{x^{2} - x}{3 x + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = 5$ ．

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19、如图， $A C ⊥ B C, B D ⊥ A D$ ，垂足分别为C ， D ， AC与BD交于点O ， $A O = B O$ ，求证：． $B C = A D$ ．

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20、化简： $(- 3 x - 2) (3 x - 2) - 4$ ．

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