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1、如图，点 $P$ 、 $Q$ 分别是等边 $△ A B C$ 边 $A B$ 、 $B C$ 上的动点（端点除外），点 $P$ 、点 $Q$ 以相同的速度，同时从点 $A$ 、点 $B$ 出发．

(1)、如图1，连接 $A Q$ 、 $C P$ ．求证： $△ A B Q ≌ △ C A P$ ；

(2)、如图1，当点 $P$ 、 $Q$ 分别在 $A B$ 、 $B C$ 边上运动时， $A Q$ 、 $C P$ 相交于点 $M$ ， $∠ Q M C$ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

(3)、当点 $P$ 、 $Q$ 在射线 $A B$ 、 $B C$ 上运动时，直线 $A Q$ 、 $C P$ 相交于 $M$ ， $∠ Q M C$ 的大小是否变化？请画出图形，并直接写出 $∠ Q M C$ 的度数．

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2、在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 位于如图所示位置．

(1)、直接写出图中点A坐标；

(2)、在图中作出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、直接写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(4)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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3、如图，点C是线段 $A B$ 的中点， $∠ B = ∠ A C D$ ， $A D ∥ C E$ ．求证： $△ A C D ≌ △ C B E$ ．

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4、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A C$ 于E，M、N分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的点， $D M = D N$ ．若 $△ A D M$ 和 $△ A D N$ 的面积分别为30和16，则 $△ A D E$ 的面积是．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ， $C A = C B$ ， $A D$ 为边 $B C$ 边上的中线， $C G ⊥ A D$ 于G，交 $A B$ 于F，过点B作 $B C$ 的垂线交 $C G$ 于点E．有下列结论：① $△ A D C ≌ △ C E B$ ；② $D F = E F$ ；③F为 $E G$ 的中点；④ $∠ A D C = ∠ B D F$ ；⑤G为 $C F$ 的中点．其中正确的结论有（）个．

A、2 B、3 C、4 D、5

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6、如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ， $∠ A = 36 °$ ．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交 $A B$ 于点F，交 $B C$ 于点G，分别以点F和点G为圆心，大于 $\frac{1}{2} F G$ 的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线 $B H$ 交 $A C$ 于点D；分别以点B和点D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点E，连接 $D E$ ．下列结论不正确的是（）

A、 $E D = \frac{1}{2} B C$ B、 $B C = A E$ C、 $∠ A E D = ∠ A B C$ D、 $∠ D E N = 54 °$

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7、老师所留的作业中有这样一个分式的计算题： $\frac{2}{x + 1} + \frac{x + 5}{x^{2} - 1}$ ，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学：
$\frac{2}{x + 1} + \frac{x + 5}{x^{2} - 1}$
$= \frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$    第一步
$= \frac{2 + x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$     第二步
$= \frac{x + 7}{(x + 1) (x - 1)}$     第三步
乙同学：
$\frac{2}{x + 1} + \frac{x + 5}{x^{2} - 1}$
$= \frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ 第一步
$= 2 x - 2 + x + 5$    第二步
$= 3 x + 3$       第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：甲同学的解答从第_____ 步开始出现错误；乙同学的解答从第_____ 步开始出现错误；请重新写出完成此题的正确解答过程．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = B C, A D ⊥ C E, B E ⊥ C E$ ，垂足分别为D ， E ．

(1)、求证： $D C = E B$ ；

(2)、若点F是AB的中点，连接CF ， FD ，并延长FD交BC于点G ，如果 $∠ D A C = α$ ，求 $∠ B G F$ 的度数（用含 $α$ 的式子表示）；

(3)、在（2）的条件下，若 $D E = 2 B E$ ，求 $△ C D F$ 的面积 $S_{1}$ 与 $△ A D F$ 的面积 $S_{2}$ 之比．

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9、【阅读理解】
若x满足 $(5 - x) (x - 2) = 2$ ，求 $(5 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$ 的值．
解：设 $5 - x = a, x - 2 = b$ ，
则 $(5 - x) (x - 2) = a b = 2, a + b = (5 - x) + (x - 2) = 3$ ，
$∴ (5 - x)^{2} + (x - 2)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 3^{2} - 2 \times 2 = 5$ ．
【解决问题】

(1)、若x满足 $(7 - x) (x - 3) = 3$ ，则 $(7 - x)^{2} + (x - 3)^{2} =$ ；

(2)、若x满足 $(x + 1)^{2} + (x - 3)^{2} = 26$ ，求 $(x + 1) (x - 3)$ 的值；

(3)、如图，已知正方形AEMG被分割成4个部分，其中四边形CDEF与BCNG为正方形。若 $A B = x, A D = x + 1$ ，四边形ABCD的面积为5，求正方形AEMG的面积．

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10、在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ，求证： $∠ B < ∠ C$ ．

(1)、如图1，小明以“折叠”为思路：将 $△ A B C$ 沿AE折叠，使点C落在AB边的点D处。然后可以证明 $∠ B < ∠ C$ ，试写出小明的证明过程；

(2)、在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图2中设计一种不同于小明的证明方法（要求有必要的辅助线和证明过程）．

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11、在2023年粤港澳青少年机器人大赛中，参赛选手用程序控制小型赛车进行50m比赛，“梦想号”和“彩虹号”两辆赛车在赛前训练时，“梦想号”从起点出发8秒后，“彩虹号”才从起点出发，结果“彩虹号”迟到2秒到达终点．已知“彩虹号”的平均速度是“梦想号”的2.5倍，求两辆赛车的平均速度各是多少？

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12、如图，在 $△ A P C$ 中， $A P = P Q = A Q = Q C$ ．

(1)、求 $∠ P A C$ 的度数；

(2)、过点Q作 $B Q ⊥ A Q$ ，交AP的延长线于点B ，求证： $△ P A C ≌ △ A Q B$ ．

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13、先化简，再求值： $\frac{x^{2} - x}{3 x + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = 5$ ．

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14、如图， $A C ⊥ B C, B D ⊥ A D$ ，垂足分别为C ， D ， AC与BD交于点O ， $A O = B O$ ，求证：． $B C = A D$ ．

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15、化简： $(- 3 x - 2) (3 x - 2) - 4$ ．

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16、如图，已知 $∠ A O B = 60 °, O D$ 平分 $∠ A O B$ ， P是OD上一定点，以点P为顶点作 $∠ M P N = 120 °$ ，将 $∠ M P N$ 绕点P旋转，PM与OA交于点E ， PN与OB交于F ，连接EF交OP于点G（点G在O ， P之间），以下4个结论：① $△ E P F$ 是等腰三角形；②当 $P M ⊥ O A$ 时， $△ O E F$ 是等边三角形；③当 $E F ⊥ O A$ 时， $△ E O G ≌ △ F P G$ ；④在旋转过程中，四边形OEPF的面积也随之变化．其中正确的选项有．

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17、若 $2^{x} \cdot 2^{y} = 2$ ，则 $x + y =$ ．

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18、如果 $\frac{1}{x}$ 比 $\frac{1}{2 x}$ 大1，则 $x =$ ．

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19、计算： $2 a^{2} b \div (- a b) =$ ．

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20、分解因式： $a b + a^{2} =$ ．

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