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1、《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题，是测量城池、山高和井深之的测量问题，这种测量方法称为“重差术”（图1），“重差术”起源于魏晋时期刘徽的“日高图”，他曾用此方法测量太阳的高度．某天小浔偶然翻阅到“重差术”这一章，一时来了兴趣便开始了研究，请你帮助小浔完成这个研究．

(1)、如图2，为了测量教学楼的高度 $A B$ ，小浔将一个直角三角尺放置于地上，并使得 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一直线上， $A B ⊥ B E$ ，若测量得 $B D = 9$ 米， $C D = 1.4$ 米， $D E = 1$ 米，请帮助小浔计算楼高 $A B$ 的长．

(2)、“重差术”介绍了古人测量太阳高度的一种方法．如图3，为了测量太阳（点 $A$ ）的高度，在相距1000米的 $D$ 、 $G$ 两地分别直立一个旗杆，旗杆长2米，分别测得旗杆的影子长 $G H$ 和 $D E$ ，便可计算太阳的高度，小浔发现图中有两组相似三角形，根据 $△ A I F ∽ △ F G H$ ，可以求出 $\frac{A I}{I F}$ 的值，又根据 $△ A I C ∽ △ C D E$ ，可得 $\frac{A I}{I C}$ 的值，设影子长 $G H = a$ ， $D E = b$ ；
①请分别用 $a$ 和 $b$ 的代数式表示 $\frac{A I}{I F}$ 和 $\frac{A I}{I C}$ ．
②若 $a = 2.4$ 米， $b = 4$ 米，计算“太阳”的高度 $A B$ ．

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2、在如图的 $8 \times 6$ 的正方形网格中建立直角坐标系（只画出了第一象限），网格中的每个小正方形的边长都为1，格点 $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (2, 4)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (4, 4)$ ．

(1)、将线段 $C A$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $C A^{'}$ ，请画出 $C A^{'}$ ．

(2)、请仅用无刻度的直尺画出 $△ A B C$ 的外接圆的圆心 $P$ ，并求点 $P$ 的坐标．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

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3、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ B C D = 45 °$ ．

(1)、求证： $A D = B D$ ；

(2)、若 $∠ C D B = 30 °$ ， $B C = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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4、为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．南浔古镇，B．德清莫干山，C．太湖龙之梦，D．中南百草园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后不放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．

(1)、小明获得一次抽奖机会，求他恰好抽到景区 $A$ 门票的概率．

(2)、小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区 $A$ 和景区 $B$ 门票的概率．
（请用画树状图或列表的方式求解）

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5、已知 $a = 2 b$ ，求下列各式的值．

(1)、 $\frac{a}{b}$ ；

(2)、 $\frac{a - b}{a + b}$ ．

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6、如图是以点 $O$ 为圆心， $A B$ 为直径的圆形纸片．点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，将该圆形纸片沿直线 $C O$ 对折，点 $B$ 落在 $⊙ O$ 上的点 $D$ 处（不与点 $A$ 重合）．连接 $A D$ ， $B D$ ，分别延长 $B A$ 和 $C D$ ，并相交于点 $E$ ．若 $\frac{E A}{E O} = k$ ， $B D = 2$ ，用含 $k$ 的代数式表示 $⊙ O$ 的面积是．

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7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB、BC于点E、F，则线段EF的长为．

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8、将抛物线 $y = 2 {(x - 2)}^{2} + 3$ 向下平移 $m$ 个单位后与 $x$ 轴只有一个交点，则 $m =$ ．

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9、已知扇形的圆心角为 $120 °$ ，半径为2，则这个扇形的面积是（结果保留 $π$ ）．

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10、掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是3的概率是．

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11、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数，且 $a \neq 0$ ），满足 $a - b = a b = c$ ，则以下结论正确的是（）

A、若 $a = - 2$ ，该函数图象经过点 $(1, 2)$ B、若 $c = 2$ ，该函数图象经过点 $(1, 2)$ C、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 的绝对值相等，则该函数图象可能经过点 $(1, 2)$ D、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 中有两数相等，则该函数图象可能经过点 $(1, 2)$

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12、如图，三个等腰直角三角形拼接在一起， $∠ A = ∠ D = ∠ E F G = 90 °$ ，且它们的斜边 $B C$ 、 $C E$ 、 $E G$ 在同一直线上，连接 $B F$ ，若 $B C = 4$ ， $C E = 12$ ， $E G = 8$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{50}{3}$ B、18 C、 $14 \sqrt{2}$ D、 $\frac{37}{2}$

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13、如图是一段圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，点 $O$ 是这段弧所在圆的圆心， $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点， $O C ⊥ A B$ 于 $D$ 点．若 $A B = 6 \sqrt{3}$ ， $O D = 3$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长是（）

A、 $6 π$ B、 $4 π$ C、 $3 π$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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14、如图，在由小正方形组成的网格中，已知 $△ A B C ∽ △ E D F$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、 $135 °$ B、 $125 °$ C、 $115 °$ D、 $105 °$

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15、关于二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 的最值，下列叙述正确的是（）

A、当 $x = - 2$ 时， $y$ 有最小值 $- 3$ B、当 $x = 2$ 时， $y$ 有最小值 $- 3$ C、当 $x = - 2$ 时， $y$ 有最大值 $- 3$ D、当 $x = 2$ 时， $y$ 有最大值 $- 3$

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16、如图，在 $⊙ O$ 中， $O A$ ， $O B$ 为半径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，若 $∠ A O B = 100 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $80 °$ D、 $100 °$

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17、二次函数 $y = x^{2}$ 的图象开口方向是（）

A、向左 B、向右 C、向上 D、向下

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18、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $B C$ 绕点C顺时针旋转角度 $α (0 ° < α < 360 °)$ 得到 $D C$ ．

(1)、如图1，若 $α = 30 °$ ，连接 $A D$ 交 $B C$ 于点E，若 $A C = 6$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、如图2，若 $0 ° < α < 90 °$ ， $C F$ 平分 $∠ B C D$ 交 $A D$ 于点F，连接 $B F$ ，过点C作 $C G ⊥ A D$ ，在射线 $C G$ 上取点G使得 $∠ B G C = 45 °$ ，连接 $B G$ ，请用等式表示线段 $C G$ 、 $C F$ 、 $B F$ 之间的数量关系并证明；

(3)、如图3，若 $B C = 8$ ，点P是线段 $A B$ 上一动点，将 $C P$ 绕点P逆时针旋转 $90 °$ 得到 $Q P$ ，连接 $A Q$ ， M为 $A Q$ 的中点，当 $2 C M + C Q$ 取得最小值时，请直接写出 $△ A B M$ 的面积．

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19、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C、D两点在 $⊙ O$ 上， $∠ B C D = 45 °$ ．

(1)、求证： $A D = B D$ ；

(2)、若C为弧 $A B$ 上的三等分点， $B C = 3$ ，求 $C D$ 的长．

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20、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 在线段 $O B$ 上， $A E$ 的延长线与 $B C$ 相交于点 $F$ ， $O D^{2} = O B \cdot O E$ ．

(1)、求证：四边形 $A F C D$ 是平行四边形；

(2)、如果 $B C = B D$ ， $A E \cdot A F = A D \cdot B E$ ，求证： $A E \cdot D C = A D \cdot B E$ ．

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