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1、 ⑴计算27÷(-9)，先确定结果的符号为号，观察算式发现，绝对值相除，结果是整数，所以27÷(-9)=-(÷)=；
⑵计算 $(+ 34) \div (- \frac{15}{8}),$ 先确定结果的符号为号，观察算式发现，绝对值相除，结果不是整数，所以利用“除以一个数(不等于零)，等于乘以这个数的”计算，即 $(+ \frac{3}{4}) \div (- \frac{15}{8}) = -$ (×)=；
⑶计算 $(- 2.4) \div (- 1 \frac{1}{5}),$ 先确定结果的符号为号，观察算式将 $1 \frac{1}{5}$ 化为假分数，所以 $(- 2.4) \div (- 1 \frac{1}{5}) = 2.4 \times$ =；
⑷计算0÷(-2)，发现被除数为0，所以0÷(-2)=.

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2、计算

(1)、 $3^{3} \times {(- \frac{1}{3})}^{3} - 2 \div {(- \frac{1}{2})}^{3}$

(2)、 $- 2^{4} + \frac{1}{2} \times [6 + {(- 4)}^{2}] + | - 3 |$

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3、计算

(1)、 $(- 4)^{2} \div (- 2)^{3} - (- 7)$

(2)、 $- (- 1) + 3^{2} \div (1 - 4) \times 2$

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4、计算

(1)、 ${(- \frac{2}{3})}^{3}$

(2)、 ${(- 1 \frac{1}{3})}^{3}$

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5、计算

(1)、-(-2)³

(2)、 $- \frac{2^{3}}{3}$

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6、计算

(1)、(-7)³

(2)、-2⁴

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7、计算
⑴ $3 + 50 \div 2^{2} \times (- \frac{1}{5}) - 1$
=3+50÷ $\times (- \frac{1}{5}) - 1$ ……先算乘方
=3+-1……再算乘除
=；……最后算加减
⑵ $- 2^{4} + | 6 - 10 | - 3 \times (- 1)^{2024}$
=+-3×……先算乘方和绝对值
=+-……再算乘法
=.……最后算加减

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = B C, A D ⊥ C E, B E ⊥ C E$ ，垂足分别为D ， E ．

(1)、求证： $D C = E B$ ；

(2)、若点F是AB的中点，连接CF ， FD ，并延长FD交BC于点G ，如果 $∠ D A C = α$ ，求 $∠ B G F$ 的度数（用含 $α$ 的式子表示）；

(3)、在（2）的条件下，若 $D E = 2 B E$ ，求 $△ C D F$ 的面积 $S_{1}$ 与 $△ A D F$ 的面积 $S_{2}$ 之比．

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9、【阅读理解】
若x满足 $(5 - x) (x - 2) = 2$ ，求 $(5 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$ 的值．
解：设 $5 - x = a, x - 2 = b$ ，
则 $(5 - x) (x - 2) = a b = 2, a + b = (5 - x) + (x - 2) = 3$ ，
$∴ (5 - x)^{2} + (x - 2)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 3^{2} - 2 \times 2 = 5$ ．
【解决问题】

(1)、若x满足 $(7 - x) (x - 3) = 3$ ，则 $(7 - x)^{2} + (x - 3)^{2} =$ ；

(2)、若x满足 $(x + 1)^{2} + (x - 3)^{2} = 26$ ，求 $(x + 1) (x - 3)$ 的值；

(3)、如图，已知正方形AEMG被分割成4个部分，其中四边形CDEF与BCNG为正方形。若 $A B = x, A D = x + 1$ ，四边形ABCD的面积为5，求正方形AEMG的面积．

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10、在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ，求证： $∠ B < ∠ C$ ．

(1)、如图1，小明以“折叠”为思路：将 $△ A B C$ 沿AE折叠，使点C落在AB边的点D处。然后可以证明 $∠ B < ∠ C$ ，试写出小明的证明过程；

(2)、在条件不变的情况下，请仍以“折叠”为思路，在图2中设计一种不同于小明的证明方法（要求有必要的辅助线和证明过程）．

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11、在2023年粤港澳青少年机器人大赛中，参赛选手用程序控制小型赛车进行50m比赛，“梦想号”和“彩虹号”两辆赛车在赛前训练时，“梦想号”从起点出发8秒后，“彩虹号”才从起点出发，结果“彩虹号”迟到2秒到达终点．已知“彩虹号”的平均速度是“梦想号”的2.5倍，求两辆赛车的平均速度各是多少？

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12、如图，在 $△ A P C$ 中， $A P = P Q = A Q = Q C$ ．

(1)、求 $∠ P A C$ 的度数；

(2)、过点Q作 $B Q ⊥ A Q$ ，交AP的延长线于点B ，求证： $△ P A C ≌ △ A Q B$ ．

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13、先化简，再求值： $\frac{x^{2} - x}{3 x + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = 5$ ．

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14、如图， $A C ⊥ B C, B D ⊥ A D$ ，垂足分别为C ， D ， AC与BD交于点O ， $A O = B O$ ，求证：． $B C = A D$ ．

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15、化简： $(- 3 x - 2) (3 x - 2) - 4$ ．

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16、如图，已知 $∠ A O B = 60 °, O D$ 平分 $∠ A O B$ ， P是OD上一定点，以点P为顶点作 $∠ M P N = 120 °$ ，将 $∠ M P N$ 绕点P旋转，PM与OA交于点E ， PN与OB交于F ，连接EF交OP于点G（点G在O ， P之间），以下4个结论：① $△ E P F$ 是等腰三角形；②当 $P M ⊥ O A$ 时， $△ O E F$ 是等边三角形；③当 $E F ⊥ O A$ 时， $△ E O G ≌ △ F P G$ ；④在旋转过程中，四边形OEPF的面积也随之变化．其中正确的选项有．

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17、若 $2^{x} \cdot 2^{y} = 2$ ，则 $x + y =$ ．

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18、如果 $\frac{1}{x}$ 比 $\frac{1}{2 x}$ 大1，则 $x =$ ．

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19、计算： $2 a^{2} b \div (- a b) =$ ．

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20、分解因式： $a b + a^{2} =$ ．

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