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1、如图，已知 $∠ A O B = 60 °, O D$ 平分 $∠ A O B$ ， P是OD上一定点，以点P为顶点作 $∠ M P N = 120 °$ ，将 $∠ M P N$ 绕点P旋转，PM与OA交于点E ， PN与OB交于F ，连接EF交OP于点G（点G在O ， P之间），以下4个结论：① $△ E P F$ 是等腰三角形；②当 $P M ⊥ O A$ 时， $△ O E F$ 是等边三角形；③当 $E F ⊥ O A$ 时， $△ E O G ≌ △ F P G$ ；④在旋转过程中，四边形OEPF的面积也随之变化．其中正确的选项有．

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2、若 $2^{x} \cdot 2^{y} = 2$ ，则 $x + y =$ ．

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3、如果 $\frac{1}{x}$ 比 $\frac{1}{2 x}$ 大1，则 $x =$ ．

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4、计算： $2 a^{2} b \div (- a b) =$ ．

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5、分解因式： $a b + a^{2} =$ ．

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6、如图，在等边三角形 $△ A B C$ 中，E为AB上一点，过点E的直线交AC于点F ，交BC延长线于点D ，作 $E G ⊥ A C$ 垂足为G ，如 $A E = C D, A B = a$ ，则GF的长为（）

A、 $\frac{1}{3} a$ B、 $\frac{2}{3} a$ C、 $\frac{1}{2} a$ D、 $\frac{3}{4} a$

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7、在平面直角坐标系中，已知点 $A (0, 1), B (2, 1)$ ， P为x轴上一点，当 $P A + P B$ 最小时，点P的坐标是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, 0)$

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8、如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（）根木条

A、2 B、3 C、4 D、5

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9、计算： $\frac{a}{a - 2} - \frac{2}{a - 2} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{4})}^{3} = a^{7}$ C、 ${(2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$ D、 $a^{6} + a^{3} = a^{2}$

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11、四边形的外角和是（）

A、180° B、360° C、540° D、720°

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12、下列表示运动的设计图形是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、如图1，点P、Q分别是等边 $△ A B C$ 边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M ．

(1)、t秒后，点P的运动路程AP与点Q的运动路程BQ；（填“相等”或“不相等”）

(2)、求证： $△ A B Q ≌ △ C A P$ ；

(3)、①当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，求∠QMC的度数：
②如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M ， ∠QMC的度数发生变化吗?若变化，请直接写出它的度数．

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14、某校购买了A、B两种型号水性笔，已知才型号的水性笔的单价比B型号水性笔的单价多1.5元，且用8000元购买A型号水性笔的数量与用5000元购买B型号水性笔的数量相同．

(1)、求A、B两种型号水性笔的单价各是多少元

(2)、根据该校需求，学校还需要增加购买一些水性笔，增加购买B型号水性笔数量是A型号水性笔数量的2倍，若总费用不超过7200元，则增加购买A型号水性笔的数量最多是多少支?

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， AB的垂直平分线DE交AB于点D ，交BC于点E ，连接AE ．

(1)、求证：AE是∠BAC的角平分线：

(2)、若 $D E = 2$ ，求BC的长．

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16、如图， $∠ B A D = ∠ C A E$ ， $∠ B = ∠ D$ ， $A C = A E$ ．

(1)、求证： $B C = D E$

(2)、若 $∠ C = 35 °$ ， $∠ D = 60 °$ ，求∠DAE的度数．

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17、先化简再求值 ${(x - y)}^{2} + (y + x) (y - x)$ ，其中 $x = - 1$ ， $y = - 2$ ．

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18、解方程 $\frac{x}{1 - x} = \frac{2 x}{x - 1} - 1$

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19、计算： $2^{- 1} \times (1 - 3) + {(\sqrt{2023} - 1)}^{0}$

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20、如图， $△ A B C$ 是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当 $P C + P E$ 的和最小时，∠ACP度数为．

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