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1、若 $a \in R$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $(a + 1) (a - 3) = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $3 - i$ B、 $3 + i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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3、已知函数 $f (x) = - cos x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{2} - 1$ ， $x \in [0, + \infty)$ .

(1)、判断 $g (x) \geq f (x)$ 是否对 $\forall x \in [0, + \infty)$ 恒成立，并给出理由；

(2)、证明：
①当 $0 < m < n < \frac{π}{2}$ 时， $\frac{sin m - sin n}{m - n} > cos n$ ；
②当 $a_{i} = \frac{1}{2^{i}} (i \in N^{*})$ ， $k_{i} = \frac{f^{'} (a_{i + 1}) - f^{'} (a_{i})}{a_{i + 1} - a_{i}} (i = 1 ， 2 ， \dots ， n - 1)$ 时， $\sum_{i = 1}^{n - 1} k_{i} > \frac{6 n - 7}{6}$ .

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4、设数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ 满足关系式： $3 t S_{n} - (2 t + 3) S_{n - 1} = 3 t$ ， $(t > 0, n \geq 2, n \in N)$ ．
（1）求证数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；
（2）设数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $f (t)$ ，构造数列 ${b_{n}}$ ，使 $b_{1} = 2, b_{n} = 3 f (\frac{1}{b_{n - 1}})$ $(n \geq 2, n \in N)$ ，求数列 ${(2 n - 1) b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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5、（1）求值： $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + \dots + C_{10}^{2}$ ；
（2）解不等式： $3 A_{x}^{3} \leq 2 A_{x + 1}^{2} + 6 A_{x}^{2}$ .

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6、设函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程.

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上零点的个数.

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7、已知函数 $f (x)= \{\begin{matrix} \frac{1}{2} - |x - \frac{3}{2}| (x \leq 2) \\ e^{x -2} (- x^{2} +8 x -12) (x >2) \end{matrix}$ 若在区间 $(1,+∞)$ 上存在 $n (n ≥2)$ 个不同的数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{n}$ ，使得 $\frac{f (x_{1})}{x_{1}} = \frac{f (x_{2})}{x_{2}} =⋯= \frac{f (x_{n})}{x_{n}}$ 成立，则 $n$ 的最大值为．

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8、工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有种．

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9、已知函数 $f (x) = x^{n} + \frac{4}{x^{n}}$ (n为正整数)，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 始终为奇函数 B、当n为偶数时，函数 $f (x)$ 的最小值为4 C、当n为奇数时，函数 $f (x)$ 的极小值为4 D、当 $n = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $y = 2 x$ 对称

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10、下列等式中，正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} + m A_{n}^{m - 1} = A_{n + 1}^{m}$ B、 $r C_{n}^{r} = n C_{n}^{r - 1}$ C、 $C_{n + 1}^{m + 1} = C_{n}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m} + C_{n - 1}^{m - 1}$ D、 $C_{n}^{m} = \frac{m + 1}{n - m} C_{n}^{m + 1}$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \in [- 1, 0) \\ \frac{3 x - 2}{1 - x}, x \in [0, 1) \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m x + \frac{2}{3} m$ 在 $[- 1, 1)$ 内有且仅有两个零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{2}, 0] \cup [3, 8)$ B、 $[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, 9] \cup (9,+ \infty)$ C、 $[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, 8]$ D、 $m \in (- \frac{3}{2}, 0] \cup [3, 9) \cup (9,+ \infty)$

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12、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + \frac{8}{3} x + 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 n - 7$ ，则 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + \dots + f (a_{8}) =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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13、2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )

A、3864种 B、3216种 C、3144种 D、2952种

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14、设 $f^{'} (x)$ 是偶函数 $f (x)$ （ $x \in R$ 且 $x \neq 0$ ）的导函数， $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，则使 $f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ B、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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15、若曲线 $y = a x + b \ln x$ 在点 $A (1, 2)$ 处的切线在y轴上的截距为1，则 $b =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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16、对于函数 $f (x)$ ， $h (x)$ ，如果存在实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 使得 $h (x) = a f (2 x) + b f (x) + c$ ，那么称函数 $h (x)$ 为 $f (x)$ 的“重组函数”

(1)、已知 $f (x) = e^{x} + 1$ ， $h (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ ，是否存在实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 使得 $h (x)$ 是 $f (x)$ 的重组函数？若存在，求出 $a$ ， $b$ ， $c$ ；若不存在，试说明理由．

(2)、当 $a = 1, b = - 2, c = - 3$ ， $f (x) = 2^{x} + 1$ 时，求 $f (x)$ 的重组函数 $h (x)$ 的值域．

(3)、当 $a = 1, c = 2$ ， $f (x) = 2^{x} + 1$ 时， $f (x)$ 的重组函数 $h (x)$ 有唯一的零点，求实数 $b$ 的取值范围．

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17、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + \sqrt{3} (\sin^{2} x - \cos^{2} x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $α$ 是锐角，且 $f (\frac{α}{2}) = \frac{8}{5}$ ，求角 $α$ 的正弦值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ， $f (A) = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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18、某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为 $60cm$ 的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.

(1)、求石凳的体积与原正四面体的体积之比；

(2)、为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ 且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \sqrt{3} a c$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $c - b = 2 b \cos A$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点， $B D = 1$ ，求 $a$ .

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20、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 3, (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 8$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直?

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