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1、已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为 $- 2$ B、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为 $\frac{1}{2}$ C、若 $0 < t < 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 D、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

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2、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，若动点P在以 $A B$ 为直径的半圆上（正方形 $A B C D$ 内部，含边界），则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 16)$ B、 $[0, 16]$ C、 $(0, 4)$ D、 $[0, 4]$

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3、已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量．若 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{a}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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4、若 $α$ 是第三象限的角，则 $π - \frac{α}{2}$ 是( )

A、第一或第二象限的角 B、第一或第三象限的角 C、第二或第三象限的角 D、第二或第四象限的角

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} // \vec{a}$ ，那么向量 $\vec{b}$ 可以是（）

A、 $(- 1, - 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(2 ， 1)$ D、 $(- 2, 1)$

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6、某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为 $a_{n}$ 万元．

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ ；写出{ $a_{n}$ }的递推公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} - 800$ ，证明数列{ $b_{n}$ }为等比数列；

(3)、求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取 $lg 2 = 0.3$ ）.

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7、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1, 2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \geq 2)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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8、等差数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数， $a_{1} = 3$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 1$ ，且 $b_{2} S_{2} = 64, b_{3} S_{3} = 960$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；

(2)、证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{3}{4}$ ．

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = a_{n}^{2} + \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, b_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2},$ $b_{n + 1} = \frac{3}{2} a_{n} - \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2},$ 若 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ .

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11、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 2, a_{2} + a_{5} + a_{8} = 4, a_{3} + a_{6} + a_{9} =$ .

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12、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，并且满足条件 $0 < a_{1} < 1$ ， $a_{8} a_{9} > 1$ ， $a_{8} a_{9} + 1 < a_{8} + a_{9}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $q > 1$ B、 $a_{8} a_{10} < 1$ C、 $T_{17} > 1$ D、 $T_{n}$ 的最小值为 $T_{9}$

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13、关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 - 2^{n + 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 B、若 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n + 2$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列 C、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为前 $n$ 项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}, \dots$ 成等比数列 D、若数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为前 $n$ 项和，则 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}, \dots$ 成等差数列

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，公差 $d = 8$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中每相邻两项之间都插入 $k$ 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 $\{b_{n}\}$ ，以下说法正确的是（）

A、 $a_{n} = 8 n - 6$ B、当 $k = 3$ 时， $b_{n} = 2 n$ C、当 $k = 3$ 时， $b_{29}$ 不是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 D、若 $b_{9}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，则 $k$ 的值可能为7

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15、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = m$ ， $S_{m} = n (m \neq n)$ ，则 $S_{m + n} =$ （）

A、 $m + n$ B、 $- (m + n)$ C、 $m - n$ D、 $2 m + n$

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ， $a_{1} = 16$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ，则 $T_{n}$ 取最大值时n的值为（）

A、3 B、6 C、4或5 D、6或7

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17、等比数列 ${a_{n}}$ 的前5项的和 $S_{5} = 10$ ，前10项的和 $S_{10} = 50$ ，则它的前15项的和 $S_{15}$ =（）

A、160 B、210 C、640 D、850

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18、在2与8之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数之积为（）

A、8 B、16 C、32 D、64

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19、北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …， $a_{9}$ ，设数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，它的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 18$ ， $a_{4} + a_{6} = 90$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、189 B、252 C、324 D、405

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20、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ 和 $g (x) = \sqrt{x}$ .

(1)、求证： $f (x) < g (x)$ ；

(2)、设 $φ (x) = [\frac{4}{g^{2} (x)} + t] f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 存在极值点，求实数 $t$ 的取值范围.

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