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1、已知函数 $f (x) = e^{x} - 1 - x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，证明：
① $e > {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ；
② $k \in N^{*}$ 且 $k \leq n$ 时， $\sum_{i = k}^{n} \frac{1}{i} > \ln \frac{n + 1}{k}$ ；

(3)、判断 $\sum_{j = 0}^{n} \frac{1}{j!}$ 与 $\sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} {(\frac{1}{n})}^{i}$ 的大小关系，并证明．

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ ，其中B，C在x轴上，以 $E (0, 1)$ 为圆心的圆内切于 $△ A B C$ ，与边AB切于点M，且 $|A M|$ 等于点A到x轴的距离．

(1)、求点A运动轨迹的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积的最小值．

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3、如图，已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的高为 $\sqrt{3}$ ，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径， $O_{2} A / / B C$ ．

(1)、证明： $△ A D O_{2}$ 是等边三角形；

(2)、已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．

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4、现有 $n + 1$ 个球，球的编号从1到 $n + 1$ ，从中任取2个球，取法总数记为 $a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $a_{n} + C_{n + 1}^{n} = a_{n + 1}$ ．

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5、已知函数 $f (x) = a^{x} - a^{- x} - x$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若存在 $x_{0} \in (0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则实数a的取值范围是．

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6、很多收费软件需要产品密钥激活才能使用，其中由25个字符构成的产品密钥比较常见，下面是三个25字符的密钥示例：
$JDHTC-NCQHB-6W444-97QYC-KW3MB$
$9CG86-9NVW6-2YBJ7-CV6F6-9K289$
$D68QB-N79BC-DMXTD-PM8TY-6VJXM$
这三个产品密钥由数字和字母组成，将其中的数字从小到大排列，得到一组数据，则这组数据的 $20 %$ 分位数是．

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7、若 $2 C_{2 n + 1}^{3} = C_{2 n + 2}^{3}$ ，则 $n =$ ．

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8、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = (\ln x - 1) (\frac{1}{x + 1} - 1) + \ln (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, e^{2}]$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(e^{2}, + \infty)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 有极大值 D、 $f (x)$ 无极小值

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9、某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《熊出没·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（）

A、若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法 B、一共有16种安排方法 C、若将《熊出没·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法 D、若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法

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10、已知 $x, y \in (\frac{3 π}{8}, \frac{π}{2})$ ，实数a，b，c满足 $a (\tan x + \tan y) = \tan x \tan y - 1$ ， $b = \sin x \sin y - \cos x \cos y$ ， $c = \frac{1}{\sin (x + y)} - \sin (x + y)$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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11、现有如图所示的 $3 \times 3$ 九宫格，方格编号为1~9，将其中5个不同的方格染成黑色，则至少有一行或一列被染成黑色的染色方式总数有（）

A、90种 B、81种 C、75种 D、72种

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12、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $2 S_{2023} = a_{2024} - a_{1}$ ，且 $a_{1} + a_{3} = 5$ ，则 $a_{3} + a_{5} =$ （）

A、10 B、15 C、25 D、45

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13、已知点F为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点，点A，B是C上与其长轴端点不重合的两点，设甲：直线AB经过C的左焦点；乙： $△ A B F$ 的周长为 $8$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、函数 $f (x) = {(x + a)}^{2} - \ln x$ 有极值点 $x = 2$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{9}{4}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{7}{4}$

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15、曲线 $y = \frac{1}{3} x^{3} + x$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程是（）

A、 $y = x$ B、 $y = \frac{1}{3} x$ C、 $y = 3 x$ D、 $y = 0$

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16、若a是 $a^{2}$ 与1的等差中项，则 $a =$ （）

A、1 B、0或1 C、 $- 2$ 或1 D、 $- \frac{1}{2}$ 或1

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17、已知向量 $\vec{a} = (4, 5)$ ， $\vec{b} = (4, 4)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、14 B、20 C、36 D、38

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18、 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边的中点， $A D = 1$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $B C = 4$ ，求 $cos ∠ B A C$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x - \sqrt{3} a \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} a + b (a \neq 0)$

(1)、写出函数的单调递减区间；

(2)、设 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最值.

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20、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

(3)、若 $\vec{d} = (3, 4)$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{d}$ 上的投影向量（用坐标表示）.

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