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1、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (x_{1}, y_{1})$ 是曲线 $C$ 上一点．

(1)、若 $|A F| = \frac{5}{4} y_{1}$ ，求点 $A$ 的坐标；

(2)、若直线 $l : y = x + m$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且以 $A B$ 为直径的圆过点 $P (4, 0)$ ，求 $| A B |$ .

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2、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $8 S_{n} = a_{n}^{2} + 4 a_{n} + 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \{\begin{cases} 2^{n - 1} n 为奇数 \\ \frac{1}{2} a_{n - 1} n 为偶数 \end{cases}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ .

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3、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $a = 1$ 时，直线 $l : y = k x$ 为曲线 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2}$ 的切线，求实数 $k$ 的值．

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4、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1, B C = 2, ∠ A B C = 60^{\circ}$ ，四边形 $A C E F$ 为正方形，且平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A C E F$ .

(1)、证明： $A B ⊥ C F$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $A D F$ 夹角的余弦值.

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5、高斯函数 $y = [x]$ 是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中 $x \in R, [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[π] = 3, [- 3.5] = - 4$ .已知 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，设 $\{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\{[S_{n}]\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .则（1） $T_{3} =$ ；（2）满足 $T_{n} \geq 2024$ 的最小正整数 $n$ 为．

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6、若函数 $f (x) = x^{2} - x + 1 + a \ln x$ 在其定义域上单调递增，则实数a的取值范围是.

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0), A (- 1, 1)$ ，若动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 6,$ 则（）

A、存在点 $P$ ，使得 $|P F_{2}| = 1$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $4 \sqrt{5}$ C、对任意的点 $P$ ，都有 $|P A| + |P F_{2}| > \frac{9}{2}$ D、椭圆上存在 $2$ 个点 $P$ ，使得 $△ P A F_{1}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$

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8、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $E, F$ 分别是 $B C, A_{1} C_{1}$ 的中点， $D$ 在线段 $B_{1} C_{1}$ 上，则下面说法中正确的有（）

A、 $E F / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ B、若 $D$ 是 $B_{1} C_{1}$ 上的中点，则 $B D ⊥ E F$ C、直线 $E F$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、存在点 $D$ 使直线 $B D$ 与直线 $E F$ 平行

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9、某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（）

A、极差 B、中位数 C、平均数 D、方差

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10、下列求导运算正确的是（）

A、若 $f (x) = \cos (2 x + 3)$ ，则 $f^{'} (x) = 2 \sin (2 x + 3)$ B、若 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1 - x}{e^{x}}$ C、若 $f (x) = e^{- 2 x + 1}$ ，则 $f^{'} (x) = e^{- 2 x + 1}$ D、若 $f (x) = x \ln x$ ，则 $f^{'} (x) = \ln x + 1$

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11、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $M$ 是双曲线左支上一点， $∠ F_{1} M F_{2} = 90^{\circ}$ ，直线 $M F_{2}$ 交双曲线的另一支于点 $N$ ， $|M N| = 2 |N F_{2}|$ ，则双曲线的离心率（）

A、 $3$ B、 $9$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2$

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12、已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ， S₁₀＝1，S₃₀＝13，S₄₀＝（　　）

A、﹣51 B、﹣20 C、27 D、40

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13、以下四个命题中，正确的是（）

A、若 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B}$ ，则 $P, A, B$ 三点共线 B、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 构成空间的另一个基底 C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，且 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$

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14、在空间四边形 $A B C D$ 中， $\overset{⃑}{D A} = \overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{D B} = \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{D C} = \overset{⃑}{c}$ ，且 $\overset{⃑}{D M} = \overset{⃑}{M A}, \overset{⃑}{B N} = 2 \overset{⃑}{N C}$ ，则 $\overset{⃑}{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} - \frac{2}{3} \overset{⃑}{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{b} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{a} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{b} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{c}$

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15、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} a_{n} = a_{n} - 1$ ，则 $a_{2024} =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $- 1$

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16、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} + n$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{100}} =$ （）

A、 $\frac{100}{101}$ B、 $\frac{1}{101}$ C、 $\frac{101}{100}$ D、 $\frac{99}{100}$

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17、直线 $l : x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角的大小为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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18、定义满足 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{0})$ 的实数 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的然点.已知 $f (x) = (\ln x + a) e^{- x}$ .

(1)、证明：对于 $\forall a \in R$ ，函数 $y = f (x)$ 必有然点；

(2)、设 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的然点，判断函数 $g (x) = f (x) - f (x_{0})$ 的零点个数并证明.

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19、我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：
中秋天气
元宵天气
合计
降水
无降水
降水
19
41
60
无降水
50
90
140
合计
69
131
200

(1)、依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？

(2)、从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求 $P (B |A)$ .
参考公式与数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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20、已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆C： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足 $F_{1} P / / F_{2} Q$ ，且P，Q在x轴上方，直线 $F_{1} Q$ ， $F_{2} P$ 交于点G.已知直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $k (k > 0)$ .

(1)、当 $k = 1$ 时，求 $|P F_{1}| + |Q F_{2}|$ 的值；

(2)、记 $△ P F_{1} G$ ， $△ Q F_{2} G$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的最大值.

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中秋天气	元宵天气		合计
中秋天气	降水	无降水	合计
降水	19	41	60
无降水	50	90	140
合计	69	131	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828