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1、已知集合 $A = \{- 1, 1, 2, 4\}$ ，集合 $B = {x ∣ \sqrt{x} < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 4\}$ D、 $\{- 1, 4\}$

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2、已知函数 $f (x) = \log_{a} (a^{2 x} + 1) - b x (a > 0, a \neq 1, b \in R)$ 的图象经过点 $(0, 1)$ ， $(1, \log_{2} \frac{5}{2})$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 的图象是轴对称图形；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $2^{f (x) + x} - 2^{x} - 7 \leq 0$ 的解集；

(3)、若函数 $y = f (x) - m$ 有且只有一个零点，求实数 $m$ 的值.

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3、近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．
建立平台第 $x$ 年
1
2
3
会员人数 $y$ （千人）
22
34
70

(1)、请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第 $x (x \in N^{*})$ 年年末会员人数 $y$ （千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数；
① $y = \frac{b}{x} + c (b > 0)$ ；② $y = d \log_{r} x + e (r > 0, r \neq 1)$ ；③ $y = t a^{x} + s (a > 0, a \neq 1)$ ．

(2)、为了更好地维护管理平台，该平台规定第 $x$ 年年末的会员人数上限为 $k \cdot 9^{x} (k > 0)$ 千人，请根据（1）中得到的函数模型，求 $k$ 的最小值．

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4、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (x) = 2 x^{2} - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) - 2 (m - 1) x$ ， $x \in [- 1, 2]$ ，求 $g (x)$ 的最小值.

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ .

(1)、填写下表，用“五点法”画出函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 在一个周期上的图象；
$x$
$- \frac{π}{12}$

$\frac{5 π}{12}$
$\frac{2 π}{3}$

$2 x + \frac{π}{6}$

$\frac{π}{2}$
$π$

$2 π$
$f (x)$
0
2
0

0

(2)、解不等式 $\sqrt{f (x)} \leq 1$ .

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x^{2} - a x + 2}, x \geq 1, \\ a x + a, x < 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为.

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7、已知命题 $p : \exists x < 0$ ， $x^{4} - x^{2} > 2$ ，则命题 $p$ 的否定为.

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8、已知 $sin θ + cos θ = \frac{1}{5}$ ， $θ \in (0, π)$ ，则下列等式正确的是（）

A、 $sin θ cos θ = - \frac{12}{25}$ B、 $sin θ - cos θ = \frac{7}{5}$ C、 $tan θ = - \frac{3}{4}$ D、 ${sin}^{3} θ + {cos}^{3} θ = \frac{37}{125}$

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9、下列能够表示集合 $A = \{- 2, 0, 1\}$ 到集合 $B = \{- 1, 0, 1, 2, 4\}$ 的函数关系的是（）

A、 $y = - x$ B、 $y = |x|$ C、 $y = - 2 x$ D、 $y = x^{2}$

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10、若存在正实数x，y满足 $\frac{4}{y} + \frac{1}{x} = 1$ ，且使不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} - 3 m$ 有解，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- 4, 1)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (4, + \infty)$

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11、函数 $f (x) = \frac{1}{x} - \ln x$ 的零点所在区间为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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12、已知圆心角为 $72^{\circ}$ 的扇形的弧长为 $\frac{4 π}{5}$ ，则该扇形的面积为（）

A、 $\frac{8 π}{5}$ B、 $\frac{π}{5}$ C、 $\frac{2 π}{5}$ D、 $\frac{4 π}{5}$

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13、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(4, 2)$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、9 C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、1

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14、下列与 $44 °$ 角终边相同的角为（）

A、 $326 °$ B、 $- 326 °$ C、 $342 °$ D、 $- 316 °$

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 2$ 关于直线 $l$ 对称的圆为 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ ，则 $l$ 的方程为．

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16、如图①，在 $Rt △ A C B$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 6$ ， D，E分别是AC，AB上的点，且 $D E // B C$ ， $D E = 2$ ，将 $△ A D E$ 沿DE折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥$ 平面BCDE，如图②.若点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段 $A_{1} F$ 上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，则点P到直线l的距离的最小值为.

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17、已知 $A (2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (0, 4)$ ，若过点A的直线l、直线BC及x轴正半轴y轴正半轴围成的四边形有外接圆，则该圆的一个标准方程为．

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18、已知函数 $f (x) = x + \frac{a^{2}}{x} (a > 0), g (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(0, a)$ 上单调递减，在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、设 $h (x) = f [g (x)]$ ，
①当 $a = 1$ 时，求 $h (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上的最小值；
②若对任意实数 $r, s, t \in [- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}], |h (r) - h (s)| < h (t)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = m^{x}$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ）的图象过点 $(3, 8), g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - k$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、当 $k = 1$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $2 f (x) > g (x)$ 的解集；

(3)、记 $f (x), g (x)$ 在区间 $[1, 2)$ 上的值域分别为集合 $A, B$ ，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要条件，求实数 $k$ 的取值范围.

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20、如图，以 $O x$ 为始边作角 $α$ 与 $β (0 < β < \frac{π}{2} < α < π)$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P, Q$ ，已知点 $Q$ 的坐标为 $(x, \frac{\sqrt{5}}{5})$ .

(1)、求 $\frac{2 \cos (\frac{3 π}{2} + β) - 5 \cos (π - β)}{- 3 \sin (3 π + β) - 2 \sin (\frac{π}{2} + β)}$ 的值；

(2)、若 $O P ⊥ O Q$ ，求 $P$ 的坐标.

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建立平台第 $x$ 年	1	2	3
会员人数 $y$ （千人）	22	34	70

$x$	$- \frac{π}{12}$		$\frac{5 π}{12}$	$\frac{2 π}{3}$
$2 x + \frac{π}{6}$		$\frac{π}{2}$	$π$		$2 π$
$f (x)$	0	2	0		0