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1、古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 $A$ 、 $B$ 的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ．点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，设点 $P$ 所构成的曲线为 $C$ ，下列结论不正确的是（）

A、 $C$ 的方程为 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 16$ B、在 $C$ 上存在点 $D$ ，使得 $D$ 到点 $(1, 1)$ 的距离为3 C、在 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 $| M O | = 2 | M A |$ D、 $C$ 上至少3个点到直线 $l : y = x + b$ 的距离等于1，则 $- 3 \sqrt{2} + 4 \leq b \leq 3 \sqrt{2} + 4$

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2、设 $B$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点和上焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $\vec{B F_{2}} = 2 \vec{F_{2} P}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{65}}{13}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3、抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（）

A、事件A与事件B互为对立事件 B、事件A与事件B相互独立 C、 $P (B) = 3 P (A)$ D、 $P (A) + P (B) ＜ 1$

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4、如图所示，在平行六面体 $A B C D − A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，H分别为 $C_{1} D_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ ， DE的中点．若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{F H}$ 可用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示为（）

A、 $− \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} − \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $− \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} − \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a} − \frac{1}{4} \vec{b} − \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} − \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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5、已知函数 $f (x) = a^{\sqrt{1 - a x}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在区间 $[2, 3]$ 上单调递增，则a的取值范围是．

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6、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = |x + \frac{4}{x} - a| + a$ 在区间 $[1, 4]$ 上的最大值是5，则a的取值范围是（）

A、 $[2, \frac{9}{2}]$ B、 $(- \infty, \frac{9}{2}]$ C、 $(- \infty, \frac{9}{2})$ D、 $[0, \frac{9}{2}]$

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7、已知 $y = x^{2} + 3 x + 1$ ， $x \in [- 2, 1]$ ，则 $y$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 5]$ B、 $[- \frac{5}{4}, - 1]$ C、 $[- \frac{5}{4}, 5]$ D、 $[- \frac{5}{4}, + \infty)$

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8、已知 $- 1 < x < 4$ ， $2 < y < 3$ ，则 $3 x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 18)$ B、 $(0, 16)$ C、 $(1, 18)$ D、 $(4, 17)$

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9、若 $x y \neq 0$ ，则“ $x + y = 0$ ”是“ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = - 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、以下选项中，是集合 $A = \{(x, y) ∣ y = 3 x - 5\}$ 的元素的是（）

A、 $(1, - 2)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(3, 5)$ D、 $(4, 8)$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - a x + 1, x < a \\ {(x - 2)}^{2}, x \geq a \end{matrix}$ ，当 $a = 1$ 时，则 $f [f (- 3)] =$ ；若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是

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12、如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为2，以 $A$ 为圆心， $A C$ 的长为半径画弧，得弧 $E C$ 、连结 $A C$ 、 $A E$ ，则图中阴影部分的面积为.

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13、不等式 $\log_{2} (x - 1) < 1$ 的解集为.

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14、已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x + y = 5$ ，若 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} \geq m + 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{8}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{5})$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 2]$

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15、声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级 $L$ 来表示声强强度大小，规定声强级 $L = 10 \lg \frac{I}{I_{0}}$ （单位：分贝），其中 $I_{0}$ 为标准声强.若声强 $I_{1}$ 是声强 $I_{2}$ 的150倍，则声强 $I_{1}$ 的声强级比声强 $I_{2}$ 的声强级大多少分贝（）（结果四舍五入保留整数） $(\lg 3 \approx 0.48, \lg 5 \approx 0.7)$

A、14 B、21 C、22 D、23

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16、设 $a = \log_{3} 6, b = 2^{1.2}, c = \log_{\frac{1}{3}} 4$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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17、 $2385^{°}$ 角是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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18、已知集合 $A = {x \in N ∣ x \leq 2}, B = {1, 2, 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1, 2, 4}$ B、 ${0, 1, 2, 4}$ C、 ${1, 2, 3, 4}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

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19、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C$ ， D为 $B C$ 的中点， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，垂足O落在线段 $A D$ 上.

(1)、证明： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、已知 $B C = 8$ ， $A O = 3$ ， $O D = 2$ ，且直线 $P B$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ .
①求此三棱锥 $P - A B C$ 的体积；
②求二面角 $B - A P - C$ 的大小.

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20、如图，游客从某旅游景区的景点 $A$ 处下上至 $C$ 处有两种路径．一种是从 $A$ 沿直线步行到 $C$ ，另一种是先从 $A$ 沿索道乘缆车到 $B$ ，然后从 $B$ 沿直线步行到 $C$ ．现有甲、乙两位游客从 $A$ 处下山，甲沿 $A C$ 匀速步行，速度为 $50 m / \min$ ．在甲出发 $2 \min$ 后，乙从 $A$ 乘缆车到 $B$ ，在 $B$ 处停留 $1 \min$ 后，再从 $B$ 匀速步行到 $C$ ，假设缆车匀速直线运动的速度为 $130 m / \min$ ，山路 $A C$ 长为1260 $m$ ，经测量 $\cos A = \frac{12}{13}$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ．
（1）求索道 $A B$ 的长；
（2）问：乙出发多少 $\min$ 后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 $C$ 处互相等待的时间不超过 $3 \min$ ，乙步行的速度应控制在什么范围内？

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