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1、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为 $4$ ，点 $P$ 是正八边形 $A B C D E F G H$ 的内部（包含边界）任一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 8 \sqrt{2}, 16 + 8 \sqrt{2}]$ B、 $[- 16 - 8 \sqrt{2}, 8 \sqrt{2}]$ C、 $[- 16 - 8 \sqrt{2}, 16 + 8 \sqrt{2}]$ D、 $[- 8 \sqrt{2}, 8 \sqrt{2}]$

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2、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{c} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $2 \vec{c} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c}$

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3、已知函数 $f (x) = 2023^{x} - 2023^{- x} + x^{2023}$ ，对任意的 $k \in [- 3, 3]$ ， $f (k x - 2) + f (x) < 0$ 恒成立，则 $x$ 的取值范围为．

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4、已知命题：“ $\forall x \in R, a x^{2} - a x - 2 < 0$ ”为真命题，则 $a$ 的取值范围是．

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5、若函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{x} + a$ 在区间 $(1, 2)$ 上存在零点，则常数a的取值范围为．

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6、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 ${(1 + 1 %)}^{365}$ 看作是每天的“进步”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${1.01}^{365} \approx 37.7834$ ；而把 ${(1 - 1 %)}^{365}$ 看作是每天“退步”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${0.99}^{365} \approx 0.0255.$ 若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过 $($ 参考数据： $lg 101 \approx 2.0043$ ， $lg 99 \approx 1.9956)$ （）天．

A、200天 B、210天 C、220天 D、230天

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7、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{5}{2} - |x - 1|, |x| \geq 1 \\ \lg \frac{1 - x}{1 + x}, |x| < 1 \end{matrix}$ ，则 $f [f (- 2)]$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\lg 3$ D、 $- \lg 3$

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8、集合 $M = \{x | x < - 2$ 或 $x \geq 3\}$ ， $N = \{x | x - a \leq 0\}$ ，若 $N \cap ∁_{R} M = \emptyset$ （R为实数集），则a的取值范围是（　　）

A、 $\{a | a \leq 3\}$ B、 $\{a | a \leq - 2\}$ C、 $\{a | a < - 2\}$ D、 $\{a | - 2 \leq a \leq 2\}$

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9、如图，在边长为 $\sqrt{3}$ 的正 $△ A B C$ 内部的两圆， $⊙ O$ 与 $⊙ O^{'}$ 外切，且 $⊙ O$ 与 $A B, A C$ 两边相切， $⊙ O^{'}$ 与 $A B, B C$ 两边相切，则两圆的半径之和的最小值为.

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10、如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知 $∠ A O C = \frac{π}{3}$ ， $O A = 1$ ，圆柱的高为 $π .$ 若点D在圆柱表面上运动，且满足 $\vec{B C} \cdot \vec{C D} = 0$ ，则点D的轨迹所围成图形的面积为.

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11、若直线 $l$ 被两条直线 $l_{1} : x - y = 0$ 与 $l_{2} : x - y + 2 \sqrt{2} = 0$ 所截得的线段的长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $l$ 的倾斜角可以是.

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12、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 c$ ，左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ .点 $P$ 为椭圆上的动点，若 $A B ⊥ B F_{1}$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $a, b, c$ 成等差数列 B、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、以 $F_{2}$ 为圆心， $|A F_{2}|$ 为半径的圆与椭圆有3个交点 D、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的外接圆半径的最小值为 $\frac{a^{2}}{2 b}$

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13、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点，点 $P$ 在直线 $l : x + y - 4 \sqrt{2} = 0$ 上，过圆 $O$ 上的任意两点 $S, T$ 分别向 $l$ 作垂线，垂足为 $S^{'}, T^{'}$ ，以下说法错误的是（）

A、 $∠ S P T$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ B、当 $S T$ 为直径时，四边形 $S S^{'} T T^{'}$ 面积的最大值为16 C、 $|P M| + |P N|$ 的最小值为 $6 \sqrt{2}$ D、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 为定值

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14、已知动点 $P$ 到定点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ 的距离之和为4，直线 $l : y = k (x + 1) - 2$ 与动点 $P$ 的轨迹有交点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, \frac{2}{3}]$ B、 $[- \frac{2}{3}, 2]$ C、 $(- \infty, - 2] \cup [\frac{2}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{2}{3}] \cup [2, + \infty)$

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15、已知抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点到双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线的距离为 $\frac{1}{16}$ ，则该双曲线的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{15} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{63} = 1$

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16、设数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} - t n, (n \in N^{*})$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则正实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $0 < t < 3$ B、 $t < 3$ C、 $0 < t \leq 2$ D、 $ι \leq 2$

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17、在直角坐标平面内，与点 $P (- 1, 0)$ 的距离为1，且与点 $Q (2, 0)$ 的距离为2的直线共有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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18、已知 $A (x, 1, 2), B (3, y, 0)$ ，若直线 $l$ 的方向向量 $\vec{v} = (- 1, - 2, 2)$ 与直线 $A B$ 的方向向量平行，则 $x + y =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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19、数列 $0, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \dots$ 的一个通项公式为（）

A、 $a_{n} = \frac{n - 2}{n} (n \in N^{*})$ B、 $a_{n} = \frac{n - 1}{n} (n \in N^{*})$ C、 $a_{n} = \frac{n - 1}{n + 1} (n \in N^{*})$ D、 $a_{n} = \frac{n - 2}{n + 2} (n \in N^{*})$

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20、已知： $f (x) = a x + b$ ，且 $f (1) = 0$ ， $f (0) = - \frac{1}{2}$ ，则 $f (5) =$ .

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