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1、设函数 $f (x) = x \sin x + \cos x + x^{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- π, 2 π]$ 上的最小值与最大值．

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2、若 $f (x) = \log_{3} (3 x - 1)$ ，则 $f^{'} (2) =$ ．

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3、已知函数 $f (x) = 3 x^{2} + e^{x} - 1 (x < 0)$ 与 $g (x) = \frac{7}{2} x^{2} - x + \ln (x + a)$ 的图象上存在关于y轴的对称点，则实数a的值可以是（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4、下列关于函数 $f (x) = (2 x - x^{2}) e^{x}$ 的判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $f (- \sqrt{2})$ 是极小值， $f (\sqrt{2})$ 是极大值 C、 $f (x)$ 没有最小值，也没有最大值 D、 $f (x)$ 有最大值，没有最小值

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5、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + f^{'} (1) x^{2} + 1$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $e + 2$ B、 $e - 4$ C、 $e - 7$ D、 $e - 8$

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6、若 $S = 0! + 1! + 2! + 3! + \dots + 100!$ ，则S的个位数字是（）

A、0 B、3 C、4 D、8

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7、某质点沿直线运动，位移y（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为 $y (t) = 3 t^{2} + 2 t + 3$ ，则该质点在 $t = 2$ 秒时的瞬时速度是（）．

A、14米/秒 B、17米/秒 C、19米/秒 D、21米/秒

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8、在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，定义这两个向量的“相离度”为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{|x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，容易知道 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 平行的充要条件为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = 0$ .

(1)、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (4, - 2)$ ，求 $d (\vec{a}, \vec{b})$ ；

(2)、①已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ_{1}$ ，且 $\vec{c}$ ， $\vec{d}$ 的夹角为 $θ_{2}$ ，证明： $d (\vec{a}, \vec{b}) = d (\vec{c}, \vec{d})$ 的充分必要条件是 $\sin θ_{1} = \sin θ_{2}$ ；
②在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ，角A的平分线AD与BC交于点D，且 $A D = \frac{4}{3}$ ，若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，求 $d (\vec{P A}, \vec{P B})$ .

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9、在斜 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a \sin 2 C + c \cos A = b$ ，且 $\cos B = \frac{1}{7}$ ．

(1)、求 $\sin A$ ；

(2)、若点M为AC中点，且 $B M = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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10、在梯形ABCD中， $\vec{A B} = 2 \vec{D C}, \vec{A E} = \vec{E B}, | \vec{B C} | = 3$ ， P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足 $4 \vec{D P} = \vec{P A} + \vec{P B}$ ， $\vec{D A} \cdot \vec{C B} = | \vec{D A} | \cdot | \vec{D P} |$ ， Q为边AD上的一个动点．

(1)、求证： $2 \vec{D P} = \vec{P E}$ ；

(2)、 $| \vec{P Q} |$ 的最小值．

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11、已知向量 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (x, - 1)$ ．

(1)、当 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ 且 $x > 0$ 时，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当 $\vec{c} = (- 8, - 1), \vec{a} ∥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $α$ ．

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12、已知点P为 $△ A B C$ 内一点， $P C = 2, P B = 3, A C = 4, A B = 5$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{P A} =$ ．

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13、已知是O坐标原点， $A (1, - 3), B (4, - \frac{1}{2}), C (2 a - 1, a + 2)$ ，若点C满足 $\vec{O C} = \cos^{2} θ \cdot \vec{O A} + 2 \sin^{2} θ \cdot \vec{O B}$ ，则a的值为．

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14、已知 $A (3, 2)$ ， $B (- 1, - 1)$ ，若点 $P (x, - \frac{1}{2})$ 在线段AB的中垂线上，则 $x =$ .

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15、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(\sqrt{3} c - 2 a \sin B) \sin C = \sqrt{3} (b \sin B - a \sin A)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\cos A \cos C$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ B、若D是AC边上的一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}, B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、若三角形 $A B C$ 是锐角三角形，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若O是 $△ A B C$ 的外心， $\vec{O B} = m \vec{O A} + n \vec{O C}$ ，则 $m + n \in [- 2, 1)$

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16、正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点， $\overset{⃑}{A P} = λ$ $\overset{⃑}{A D} + μ \overset{⃑}{A E}$ ，则（）

A、 $λ$ 最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $μ$ 最大值为1 C、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A D}$ 最大值是2 D、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A E}$ 最大值是 $\sqrt{5} + 2$

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17、已知凸四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $∠ A B D = 2 ∠ C B D$ ， $\frac{A D}{C D} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，则 $\frac{B D}{A C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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18、我们定义：“ $\vec{a} \times \vec{b}$ ”为向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的“外积”，若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，它的长度规定 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin θ$ ，现已知：在 $△ A B C$ 中，若 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 1, |\vec{C A} + \vec{C B}| = 2$ ，则 $|\vec{A B} \times \vec{A C}|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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19、冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{14}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{22}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{6}$

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20、已知 $A D, B E$ 分别为 $△ A B C$ 的边 $B C, A C$ 上的中线，设 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{B E} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B C}$ ＝（）

A、 $\frac{4}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{2}{3}$ $\vec{b}$ B、 $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$ C、 $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ $- \frac{4}{3}$ $\vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$

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