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1、在必修一第210页研究正切函数的图象时，借助图形的面积，我们得到了以下不等式：当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $\sin x < x < \tan x$ ，此过程相当有乐趣.在今年的某地的模拟试题中出现了这样的一个题目：当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $\sin (\cos x) \leq \cos (\sin x)$ ，此题目引发了很多思考.请你完成下列问题：

(1)、判断函数 $f (x) = \sin (\cos x)$ 的奇偶性，并讨论其是否为周期函数，若是，请写出其一个周期，若不是，请说明理由；

(2)、证明：当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $\sin (\cos x) < \cos x < \cos (\sin x)$ ；

(3)、已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x - b x + \cos (x - 1) + b - 1$ ，其中 $a, b \in R$ 且 $b \geq 2$ ，当 $x \geq 1$ 时，有 $f (x) \geq 0$ 恒成立. 证明： $\sqrt{a} \geq \frac{b}{2}$

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2、某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）

(1)、已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；

(2)、已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，对手答对每道试题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分 $Y$ 的分布列与期望；

(3)、进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为 $(p \in (0, 1))$ ，若甲4道试题全对的概率为 $\frac{1}{16}$ ，求甲能胜出的概率的最小值.

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3、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E, F$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点， $G$ 是棱 $C C_{1}$ 上一点，且 $\vec{C_{1} G} = λ \vec{C_{1} C} (0 < λ < 1)$

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、在菱形 $A C C_{1} A_{1}$ 中，若 $A C_{1} = 2$ ，
（ⅰ）求三棱锥 $C_{1} - A B C$ 的体积；
（ⅱ）若二面角 $A - E G - F$ 的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{53}}{53}$ ，求 $λ$ 的值

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4、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若双曲线 $C$ 经过点 $A (- 3$ ， $2 \sqrt{3})$ 且离心率 $e = \sqrt{3}$

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过 $F_{1}$ 作倾斜角为 $30 °$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $Δ O M N$ 的面积 $(O$ 为坐标原点）

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5、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{3} = a_{8}$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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6、如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态．若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次，则 $(2, 3)$ 和 $(4, 1)$ 的最终状态都未改变的概率为．
$(1, 1)$
$(1, 2)$
$(1, 3)$
$(1, 4)$
$(2, 1)$
$(2, 2)$
$(2, 3)$
$(2, 4)$
$(3, 1)$
$(3, 2)$
$(3, 3)$
$(3, 4)$
$(4, 1)$
$(4, 2)$
$(4, 3)$
$(4, 4)$

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7、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且函数 $f (x) = 4 x^{3} - a x^{2} - 2 b x + 2$ 在 $x = 1$ 处有极值，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值等于．

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8、 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a^{2} - \sqrt{2} a c + c^{2} = b^{2}$ ，则 $B =$ ．

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9、已知点 $F (1, 0)$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $A B$ ， $C D$ 是经过点 $F$ 的弦且 $A B ⊥ C D$ ，直线 $A B$ 的斜率为 $k$ ，且 $k > 0$ ， $C$ ， $A$ 两点在 $x$ 轴上方，则（）

A、 $\vec{O C} \cdot \vec{O D} = - 3$ B、四边形 $A C B D$ 面积最小值为64 C、 $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |} = \frac{1}{4}$ D、若 $| A F | \cdot | B F | = 16$ ，则直线 $C D$ 的斜率为 $- \sqrt{3}$

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10、设单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = \sqrt{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的方向上的投影向量为 $\vec{a}$

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11、某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A、频率分布直方图中 $a$ 的值为0.004 B、估计这20名学生考试成绩的平均数为76.5 C、估计这20名学生数学考试成绩的众数为80 D、估计总体中成绩落在 $[60, 70)$ 内的学生人数为150

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12、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) + \cos (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，将 $f (x)$ 图像上所有的点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图像，若 $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{12})$ 上恰有一个极值点，则 $ω$ 的取值不可能是（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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13、已知 $\tan θ = 3$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} - 2 θ) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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14、“ $- 12 \leq a < - 2$ ”是“直线 $l : x + 2 y + a = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ 有公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、设 $α$ ， $β$ 是两个不重合平面， $m$ ， $l$ 是两条不重合直线，则（）

A、若 $l / / α$ ， $m \subset α$ ，则 $m / / l$ B、若 $m / / α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $l ⊥ β$ ， $m / / l$ ，则 $α / / β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m / / α$ ， $l / / β$ ，则 $m ⊥ l$

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16、下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(- \infty, 0)$ 上是单调递增的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$ C、 $y = ln | x |$ D、 $y = x^{3}$

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17、命题：“ $\forall x \in [1, 3]$ ， $2 x^{2} - 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin [1, 3]$ ， $2 x^{2} - 1 \geq 0$ B、 $\forall x \in [1, 3]$ ， $2 x^{2} - 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \in [1, 3]$ ， $2 x_{0}^{2} - 1 < 0$ D、 $\exists x_{0} \notin [1, 3]$ ， $2 x_{0}^{2} - 1 < 0$

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18、复数 $z = i (4 - i)$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - 4 i$ B、 $- 1 + 4 i$ C、 $1 + 4 i$ D、 $- 1 - 4 i$

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19、已知抛物线 $C :$ $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ ，与 $C$ 的准线相交于 $N$ ，若 $\vec{B N} = 2 \vec{F B}$ ，则 $|A F|$ 的值为．

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20、棱长为2的正四面体 $A B C D$ 中，点 $E$ 是AD的中点，则 $\vec{B A} \cdot \vec{C E} =$ ．

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