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1、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 1, \cos A = \frac{5}{6}$ ，则 $B C =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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2、已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} \leq 5\}, B = \{- 3, - 2, - 1, 0, \frac{1}{2}, 1\}$ ，则 $A \cup B$ 中元素的个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3、已知O是 $△ A B C$ 内一点，OA = OB = OC， $\vec{A O} \cdot \vec{O B} = \vec{B O} \cdot \vec{O C} = \vec{C O} \cdot \vec{O A} = 2$ ，动点P满足 $| \vec{A P} | = 1$ ， M是PC的中点．

(1)、判断△ABC的形状，并求△ABC的面积；

(2)、求 $| \vec{B M} |$ 的最大值．

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4、已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{\sin A}{\sqrt{3} \sin C}$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、若 $\cos B + \sqrt{3} \sin B = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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5、（1）已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，求作向量 $\vec{c}$ ，使 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ；
（2）（1）中表示 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 的有向线段能构成三角形吗？说明理由．

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6、化简： $\frac{\sin 2 α}{2 \cos α} (1 + \tan α \tan \frac{α}{2})$ ，并指出α的取值范围.

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7、下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、方向为南偏西 $60 °$ 的向量与北偏东 $60 °$ 的向量是共线向量 C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是平行向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若用有向线段表示的向量 $\vec{A M}$ 与 $\vec{A N}$ 不相等，则点 $M$ 与 $N$ 不重合

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8、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ）的部分图象如图所示，其中线段 $B D$ 的中点在 $y$ 轴上，且△ $B C D$ 的面积为 $2 π$ ，则 $f (x)$ 可以为（）

A、 $\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ B、 $\sin (x + \frac{π}{3})$ C、 $2 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ D、 $2 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) / / (\vec{a} - μ \vec{b})$ ，则（）

A、 $λ + μ = 0$ B、 $λ + μ = - 1$ C、 $λ μ = 1$ D、 $λ μ = - 1$

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10、设非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则（）

A、 $\vec{a} // \vec{b}$ B、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$

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11、已知函数 $f (x) = \ln (e^{x} + 1) - k x$ 为偶函数， $g (x) = e^{2 x} + m e^{x}$

(1)、求实数k的值；

(2)、若 $\forall x_{1} \in (0, + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in R$ ，使得 $g (x_{1}) > f (2 x_{2})$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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12、知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 、 $Q$ 分别为对角线 $B D$ 、 $C D_{1}$ 上的点，且 $\frac{C Q}{Q D_{1}} = \frac{B P}{P D} = \frac{3}{5}$

(1)、求证： $P Q / /$ 平面 $A_{1} D_{1} D A$ ；

(2)、若 $R$ 是 $A B$ 上的点， $\frac{A R}{A B}$ 的值为多少时，能使平面 $P Q R //$ 平面 $A_{1} D_{1} D A$ ？请给出证明.

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13、测量河对岸某一高层建筑物 $A B$ 的高度时，可以选择与建筑物的最低点 $B$ 在同一水平面内的两个观测点 $C$ 和 $D$ ，如图，测得 $∠ B C D = 15 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $C D = 30 m$ ，并在 $C$ 处测得建筑物顶端 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，求建筑物 $A B$ 的高度.

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14、已知 $\overset{⃑}{e_{1}}$ ， $\overset{⃑}{e_{2}}$ 是两个单位向量，且| $\overset{⃑}{e_{1}}$ ＋ $\overset{⃑}{e_{2}}$ |＝ $\sqrt{3}$ ，则| $\overset{⃑}{e_{1}}$ － $\overset{⃑}{e_{2}}$ |＝.

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15、下列选项中哪些是正确的（）

A、 $i^{1} + i^{2} + i^{3} + i^{4} + \dots \dots .. + i^{2023} = - 1$ （ $i$ 为虚数单位） B、用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台 C、在△ABC中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则△ABC是钝角三角形 D、当 $x < \frac{3}{2}$ 时，向量 $\vec{a} = (x, 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ 的夹角为钝角

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16、 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ （ $θ \in R$ ， i是虚数单位，e是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（）

A、对任意的 $θ \in R$ ， $|e^{i θ}| = 1$ B、 $e^{i}$ 在复平面内对应的点在第一象限 C、 $e^{iπ} - 1 = 0$ D、 $e^{i α} e^{i β} = e^{i (α + β)}$

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17、已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = - \log_{2} x$ ．若函数 $F (x) = f (x) - \sin π x$ 在区间 $[- 1, m]$ 上有9个零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $[3, 3.5)$ B、 $(3, 3.5]$ C、 $(4.5, 5]$ D、 $[4.5, 5)$

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18、已知正数 $x, y$ 满足 $\frac{x}{2} + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、4 D、 $\frac{7}{2}$

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19、已知圆锥的高为 $\sqrt{3}$ ，其侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 π}{3}$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{8}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{5}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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20、若 $A (1, m), B (m + 1, 3), C (1 - m, 7)$ 三点共线，则 $m =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、0或 $- 5$ D、0或5

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