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1、下列复合函数的导数计算正确的有（）

A、若函数 $f (x) = e^{2 x}$ ，则 $f^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ B、若函数 $f (x) = ln (\frac{2}{x})$ ，则 $f^{'} (x) = - \frac{1}{x}$ C、若函数 $f (x) = 3^{3 x + 1}$ ，则 $f^{'} (x) = 3^{3 x + 1} ln 3$ D、若函数 $f (x) = {sin}^{2} (3 x + \frac{π}{4})$ ，则 $f^{'} (x) = 3 cos (6 x)$

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ ，则下列结论中正确的个数是（）
①当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{- x} (x - 1)$
②函数 $f (x)$ 有3个零点
③ $f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$
④ $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < 2$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3、若点 $P (1, m)$ 不在函数 $f (x) = x^{3} - 3 m x$ 的图像上，且过点P有三条直线与 $f (x)$ 的图像相切，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{4}] \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

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4、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系 $P (t) = P_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{30}}$ ，其中P₀为 $t = 0$ 时该放射性同位素的含量.已知 $t = 15$ 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 $- \frac{3 \sqrt{2} \ln 2}{10}$ ，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（）

A、20天 B、30天 C、45天 D、60天

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5、函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 3 x + a （其中 a \in R ）$ 的单调增区间是（）

A、 $(- \infty, - 1), (3, + \infty)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $R$

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6、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{3}{x})}^{'} = 1 + \frac{3}{x}$ B、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \log_{3} e$ C、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$ D、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + 2 a x + 2$ 有两个不同的极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $x_{2} - 1 < \frac{1}{x_{1} - 1}$ .

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8、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2, a_{1} = 0, a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ .

(1)、证明： $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是等比数列.

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(3)、求数列 $\{n a_{n} + 2 n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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9、已知 ${(1 + 2 x)}^{m} + {(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}, m, n \in N_{+}, m \leq n$ ，且 $a_{1} - a_{0} = 2$ .

(1)、求 $2 m - n$ ；

(2)、若 $m + 1 = n$ ，求 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6}$ .

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10、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ 在 $x = - 1$ 处取得极大值5.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求与直线 $l : x - 12 y + 3 = 0$ 垂直，并与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线的方程.

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11、3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序.

(1)、共有多少种不同的安排方案?

(2)、若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案?

(3)、若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案?

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12、已知函数 $f (x) = x^{3} + x$ ，若第一象限内的点 $P$ 在曲线 $y = f (x)$ 上，则 $P$ 到直线 $l : 4 x - y - 4 = 0$ 的距离的最小值为.

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13、在集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 的子集中，含有3个元素的子集的个数为.

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14、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{5} + a_{11} + a_{13} = 56$ ，则 $a_{8} =$ .

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15、平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（）

A、这两组平行线有70个交点 B、这两组平行线可以构成140条射线 C、这两组平行线可以构成525条线段 D、这两组平行线可以构成945个平行四边形

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16、若 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 各项的二项式系数之和为32，则（）

A、 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式共有5项 B、 $C_{n}^{1} = C_{n}^{4}$ C、 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式的常数项为40 D、 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式的第5项的系数为5

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17、下列函数求导错误的是（）

A、 ${(e^{3})}^{'} = e^{3}$ B、 $(x ln x)^{'} = ln x + 1$ C、 ${(\frac{2^{x}}{x + 1})}^{'} = \frac{x 2^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$ D、 ${(e^{2 x + 1})}^{'} = e^{2 x + 1}$

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18、 $7^{2026}$ 被5除所得的余数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、广西壮族自治区桂林市荔浦市，被称为“中国衣架之都”，是全国最大的木衣架生产和出口基地，已知荔浦市某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的 $60 %, 40 %$ ，甲、乙车间的优品率分别为 $95 %, 90 %$ ．现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（）

A、 $93 %$ B、 $93.5 %$ C、 $94 %$ D、 $94.5 %$

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20、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} = 1, a_{6} = 3$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、81 B、243 C、9 D、27

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